Question

13．汽車在水平直道上勻速行駛允許的最大速度檔108km/h，如圖所示，在A點正前方100m處有一個半徑為20m的半圓形水平彎道．將汽車的剎車過程簡化為滑動過程，最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小，汽車車胎與路面間的動摩擦因數(shù)為0.5，要使汽車能安全通過該路段，在半圓形水平彎道上行駛時，不考慮滾動摩擦力對汽車做圓周運動的影響，已知重力加速度g=10m/s²．求汽車從A點到B點的最短時間（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．

Answer 1

分析 當(dāng)汽車進(jìn)入彎道時恰好是最大靜摩擦力提供向心力時，整個過程時間最短，從A到B先做勻速運動，再做勻減速運動，最后勻速圓周運動，三段時間相加即可求解．

解答 解：從B到C，根據(jù)牛頓第二定律得：$μmg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}①$
解得：$v=\sqrt{μgR}$=$\sqrt{0.5×10×20}$=10m/s
${v}_{0}^{\;}=108km/h=30m/s$
勻減速直線運動的加速度a，根據(jù)牛頓第二定律有：g=ma…②
解得：a=$μg=0.5×10=5m/{s}_{\;}^{2}$
勻減速直線運動的位移為：$x=\frac{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}$…③
代入數(shù)據(jù)得：$x=\frac{1{0}_{\;}^{2}-3{0}_{\;}^{2}}{2（-5）}=80m$
從A點開始先做勻速直線運動的位移為：${x}_{1}^{\;}=100-80=20m$
勻速時間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{{x}_{1}^{\;}}{v}=\frac{20}{30}=0.67s$
勻減速時間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{v-{v}_{0}^{\;}}{a}=\frac{10-30}{-5}=4s$
圓周運動時間為：${t}_{3}^{\;}=\frac{2πR}{v}=\frac{2×3.14×20}{10}=12.56s$
所以從A到B的最短時間為：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=0.67+4+12.56=17.23s$
答：汽車從A點到B點的最短時間為17.23s

點評 解決本題的關(guān)鍵是知道物體的運動過程，熟練運用運用勻變速直線運動的規(guī)律和圓周運動的關(guān)系式解題．