Question

2．如圖所示，豎直平面內有一直角坐標系XOY，X軸的正半軸為光滑絕緣水平軌道，負半軸沒有軌道，BCP三點都在X軸上，直線MB與Y軸平行，PQ是一個豎直屏，Y軸右邊有水平向左的勻強磁場E₁，MB左邊有水平向上的勻強磁場E₂，MB和Y軸間沒有電場，MB右邊和圓C內有垂直紙面向外磁感應強度為B的勻強磁場（電場和磁場都沒有畫出），一個帶正電的小球從A點靜止釋放，沿直線AB進入圓形磁場，已知：①圓C的半徑為R=$\sqrt{3}$L；②小球的電荷量為q，質量為m；③重力加速度為g；④B=$\frac{m}{3qL}\sqrt{3gL}$；⑤PC間的距離是3$\sqrt{3}$L；⑥E₁=E₂=$\frac{mg}{q}$．求：

（1）A點的坐標．
（2）小球打到屏PQ上的點到P點距離．
（3）當小球離開圓形磁場瞬間，保持原有條件不變，再在MB左邊加一個新的方向與X負半軸方向成30°斜向左下的勻強磁場E₃，小球剛好垂直打到屏PQ上，求E₃的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球在MN與y軸之間做直線運動，所以小球受到的洛倫茲力與重力大小相等，方向相反，由此求出小球的速度，然后又動能定理即可求出A點的位置：
（2）小球在圓形磁場中受到重力、洛倫茲力和電場力的作用，做勻速圓周運動，出磁場的區(qū)域后做勻速直線運動，由此即可求出P點的縱坐標；
（3）再在MB左邊加一個新的方向與X負半軸方向成30°斜向左下的勻強磁場E₃，則小球做類平拋運動，由速度方向的變化與類平拋運動的規(guī)律即可求解．

解答 解：（1）由題意，小球在MN與y軸之間受到的洛倫茲力與重力大小相等，方向相反，即：qvB=mg
所以：$v=\frac{mg}{qB}=\frac{mg}{q×\frac{m}{3qL}\sqrt{3gL}}=\sqrt{3gL}$
A到O的過程中，只有電場力做功，由動能定理得：$q{E}_{1}s=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
所以：s=$\frac{m{v}^{2}}{2q{E}_{1}}=\frac{m×3gL}{2q×\frac{mg}{q}}=\frac{3}{2}L$=1.5L
A點的坐標是（1.5L，0）
（2）小球在圓形磁場中受到重力、洛倫茲力和電場力的作用，電場力：${qE}_{2}=q•\frac{mg}{q}=mg$方向向上，與重力大小相等，所以小球在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
得：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{m•\sqrt{3gL}}{q×\frac{m}{3qL}\sqrt{3gL}}=3L$
做出小球在磁場中運動的軌跡如圖，則：

$tanθ=\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{3}L}{3L}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以：θ=30°
小球的偏轉角是2θ=60°
出磁場的區(qū)域后做勻速直線運動，與x軸的夾角是60°，所以：$PQ=PO•tan60°=3\sqrt{3}L×\sqrt{3}=9L$
（3）在MB左邊加一個新的方向與X負半軸方向成30°斜向左下的勻強磁場E₃，則小球由于原來受到的電場力與重力平衡，所以小球做類平拋運動，初速度的方向與E₃的方向垂直，所以沿初速度的方向：x=vt    ①
沿E₃的方向：$a=\frac{q{E}_{3}}{m}$，$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ②
由于∠PQO=90°-60°=30°
所以：$x=\frac{PQ}{cos30°}-R-\frac{y}{tan30°}=6\sqrt{3}L-\sqrt{3}L-\sqrt{3}y=5\sqrt{3}L-\sqrt{3}y$    ③
又有：v_y=at④
${v}_{y}=\frac{v}{tan30°}=\sqrt{3}v$  ⑤
聯(lián)立以上方程，解得：$x=2\sqrt{3}L$，y=3L，$t=2\sqrt{\frac{L}{g}}$，${E}_{3}=\frac{3mg}{2q}$．
答：（1）A點的坐標是（1.5L，0）．（2）小球打到屏PQ上的點到P點距離是9L．（3）E₃的大小是$\frac{3mg}{2q}$．

點評 該題中，物體在幾種不同的情況下，壓的情況是不同的，正確對小球進行受力分析，畫出小球的運動的軌跡，然后在結合運動的軌跡與已知的各長度之間的幾何關系解得是常規(guī)的解題思路．