Question

1．如圖所示，間距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平地放置在豎直方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一端接有阻值為R的電阻，電阻為r、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上，在外力F作用下從t=0時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)，其速度規(guī)律為v=v_msinωt，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，電壓表為理想電表，求：
（1）電壓表的示數(shù)；
（2）從t=0到t=$\frac{π}{ω}$時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)間內(nèi)外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式E=Bdv求得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值表達(dá)式，可知棒中產(chǎn)生正弦式電流，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值E_m，求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值，再由歐姆定律求出電流的有效值，由歐姆定律求出R電壓的有效值，即為電壓表的示數(shù)．
（2）由焦耳定律求電阻R產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理研究從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)間內(nèi)外力F所做的功．其中克服安培力做功大小等于電路中產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）從t=0開始運(yùn)動(dòng)，棒ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
e=BLv=BLv_msinωt，是正弦式交變電流
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值為：E_m=BLv_m
其有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m
感應(yīng)電流的有效值：I=$\frac{E}{R+r}$
電壓表的示數(shù)等于R兩端電壓的有效值，為 U=IR=$\frac{\sqrt{2}BLR{v}_{m}}{R+r}$
（2）從t=0到t=$\frac{π}{ω}$時(shí)間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量：Q=I²Rt
解得：Q=$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}R}{ω（R+r）^{2}}$；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)間內(nèi)，根據(jù)動(dòng)能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv_m²+I²（R+r）t
聯(lián)立得：外力F所做的功 W=$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$；
答：
（1）電壓表的示數(shù)為 $\frac{\sqrt{2}BLR{v}_{m}}{R+r}$．
（2）從t=0到t=$\frac{π}{ω}$時(shí)間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量為$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}R}{ω（R+r）^{2}}$；
（3）從t=0到t=$\frac{π}{2ω}$時(shí)間內(nèi)，外力F所做的功為$\frac{1}{2}$mv_m²+$\frac{π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}^{2}}{4ω（R+r）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是產(chǎn)生正弦式電流的一種方式，要能夠把電磁感應(yīng)和動(dòng)能定理結(jié)合解決問題．知道正弦交變電流產(chǎn)生熱量的求解方式