Question

20．如圖甲所示，BCD為豎直放置的半徑R=0.20m的半圓形軌道，在半圓形軌道的最低位置B和最高位置D均安裝了壓力傳感器，可測定小物塊通過這兩處時對軌道的壓力F_B和F_D．半圓形軌道在B位置與水平直軌道AB平滑連接，在D位置與另一水平直軌道EF相對，其間留有可讓小物塊通過的縫隙．一質(zhì)量m=0.20kg的小物塊P（可視為質(zhì)點），以不同的初速度從M點沿水平直軌道AB滑行一段距離，進入半圓形軌道BCD經(jīng)過D位置后平滑進入水平直軌道EF．一質(zhì)量為2m的小物塊Q（可視為質(zhì)點）被鎖定在水平直軌道EF上，其右側(cè)固定一個勁度系數(shù)為k=500N/m的輕彈簧．如果對小物塊Q施加的水平力F≥30N，則它會瞬間解除鎖定沿水平直軌道EF滑行，且在解除鎖定的過程中無能量損失．已知彈簧的彈性勢能公式E_P=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量．g取10m/s²．

（1）通過傳感器測得的F_B和F_D的關(guān)系圖線如圖乙所示．若軌道各處均不光滑，且已知軌道與小物塊P之間的動摩擦因數(shù)μ=0.10，MB之間的距離x_MB=0.50m．當(dāng)F_B=18N時，求：
①小物塊P通過B位置時的速度v_B的大小；
②小物塊P從M點運動到軌道最高位置D的過程中損失的總機械能；
（2）若軌道各處均光滑，在某次實驗中，測得P經(jīng)過B位置時的速度大小為2$\sqrt{6}$m/s．求在彈簧被壓縮的過程中，彈簧的最大彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合B點的壓力大小求出B點的速度．
根據(jù)：△E₁=μmgx_MB求出小物塊P從M到B所損失的機械能，根據(jù)牛頓第二定律求出D點的速度，根據(jù)動能定理求出B到D過程中克服摩擦力做功，從而求出小物塊P從M點運動到軌道最高點D的過程中所損失的機械能．
（2）根據(jù)機械能守恒求出D點的速度，通過能量守恒、動量守恒定律，求出彈簧的最大彈性勢能．

解答 解：（1）①設(shè)小物塊P在B、D兩位置受軌道彈力大小分別為N_B、N_D，速度大小分別為v_B、v_D．
根據(jù)牛頓第三定律可知 N_B=F_B，N_D=F_D，
小物塊P通過B位置時，根據(jù)牛頓第二定律有${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=4.0m/s；    
②小物塊P從M到B所損失的機械能為：△E₁=μmgx_MB=0.1×2×0.50J=0.10J
小物塊P通過D位置時，根據(jù)牛頓第二定律有${N}_{D}+mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2.0m/s．
小物塊P由B位置運動到D位置的過程中，克服摩擦力做功為W_f，
根據(jù)動能定理有-W_f-mg2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=0.40J；   
小物塊P從B至D的過程中所損失的機械能△E₂=0.40J．
小物塊P從M點運動到軌道最高點D的過程中所損失的機械能△E=0.50J．

（2）在軌道各處均光滑的情況下，設(shè)小物塊P運動至B、D位置速度大小分別為v_B′、v_D′．
根據(jù)機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=2mgR$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_D′=4.0m/s，
小物塊P向小物塊Q運動，將壓縮彈簧，當(dāng)彈簧的壓縮量x=$\frac{F}{k}$時，小物塊Q恰好解除鎖定．設(shè)小物塊P以v_x速度大小開始壓縮彈簧，當(dāng)其動能減為零時，剛好使小物塊Q解除鎖定．
根據(jù)能量守恒有 $\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}=\frac{1}{2}k{x}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_x=3.0m/s，
由于v_D′＞v_x，因此小物塊Q被解除鎖定后，小物塊P的速度不為零，設(shè)其速度大小為v_P，
根據(jù)能量守恒有 $\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{2}k{x}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v_P=$\sqrt{7}$m/s，
當(dāng)小物塊Q解除鎖定后，P、Q以及彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒，當(dāng)兩者速度相等時，彈簧的壓縮量最大．
根據(jù)動量守恒定律有：mv_P=（m+2m）v，
彈簧的最大彈性勢能${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}-\frac{1}{2}（m+2m）{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得E_p=1.37J．
答：（1）①小物塊P通過B位置時的速度v_B的大小為4m/s；
②小物塊P從M點運動到軌道最高位置D的過程中損失的總機械能為0.50J；
（2）在彈簧被壓縮的過程中，彈簧的最大彈性勢能為1.37J．

點評 本題考查了動量守恒定律、能量守恒定律、機械能守恒、動能定理、牛頓第二定律的綜合運用，綜合性較強，對學(xué)生的能力要求較高，關(guān)鍵合理地選擇研究的過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．