Question

8．如圖所示，寬度為d的豎直狹長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)（邊界為L(zhǎng)₁、L₂），存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和豎直方向上的周期性變化的電場(chǎng)（如圖所示），電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E₀，E＞0表示電場(chǎng)方向豎直向上．t=0時(shí)，一帶正電、質(zhì)量為m的微粒從左邊界上的N₁點(diǎn)以水平速度v射入該區(qū)域，沿直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)后，做二次完整的圓周運(yùn)動(dòng)（其軌跡恰好不穿出邊界L₁），以后可能重復(fù)該運(yùn)動(dòng)形式，最后從邊界L₂穿出．重力加速度為g，上述d、E₀、m、v、g為已知量．

（1）求該微粒通過(guò)Q點(diǎn)瞬間的加速度；
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和電場(chǎng)變化的周期T；
（3）若微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，而d=4.5R，使微粒仍能按上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程通過(guò)相應(yīng)寬度的區(qū)域，求微粒所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）微粒沿直線通過(guò)時(shí)在豎直方向上受力平衡，根據(jù)平衡求得各力大小，從而求得微粒通過(guò)Q點(diǎn)瞬間的加速度；
（2）微粒圓周運(yùn)動(dòng)恰好不穿出邊界從而求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再根據(jù)半徑公式和周期公式求出電場(chǎng)變化的周期；
（3）作出微粒運(yùn)動(dòng)的軌跡示意圖，由圖根據(jù)周期性求得粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）微粒從N到Q，因做直線運(yùn)動(dòng)所以滿足：
mg+qE₀=qvB              ①
從Q點(diǎn)開(kāi)始微粒做圓周運(yùn)動(dòng)，則有：
mg=qE₀                 ②
因?yàn)樵赒點(diǎn)，微粒開(kāi)始做圓周運(yùn)動(dòng)，則此時(shí)重力與電場(chǎng)力平衡，微粒所受合力滿足：
Bqv=ma               ③
由①②③可解得微粒在Q點(diǎn)的瞬時(shí)加速度a=2g
（2）由mg+qE₀=qvB和mg=qE₀則可得：
qvB=2mg=2qE₀
解得磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{2{E}_{0}}{v}$
設(shè)微粒從N₁運(yùn)動(dòng)到Q的時(shí)間為t₁，做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t₂，
因微粒恰好沒(méi)穿出L1邊界，則
微粒圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{m{v}^{2}}{2mg}$=vt₁
所以可以得：${t}_{1}=\frac{v}{2g}$
據(jù)洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
qvB=m$\frac{v2}{R}$
2πR=vt₂
解得：${t}_{2}=\frac{2πR}{v}=\frac{2π\(zhòng)frac{mv}{qB}}{v}=\frac{πv}{g}$
所以可得電場(chǎng)變化的周期T=t₁+2t₂=$\frac{v}{2g}$+2$\frac{πv}{g}$=$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）（5分）若d=4.5R據(jù)題意可畫(huà)出微粒如圖的運(yùn)動(dòng)軌跡．
從圖由運(yùn)動(dòng)的周期性可知：
微粒運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=3T+t₁+$\frac{1}{12}$t₂=3（$\frac{4π+1}{2g}v$）+$\frac{v}{2g}$+$\frac{1}{12}$$\frac{πv}{g}$=$\frac{73π+24}{12g}v$
答：（1）該微粒通過(guò)Q點(diǎn)瞬間的加速度為2g；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2{E}_{0}}{v}$和電場(chǎng)變化的周期T為$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）若微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，而d=4.5R，使微粒仍能按上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程通過(guò)相應(yīng)寬度的區(qū)域，微粒所用的時(shí)間為$\frac{73π+24}{12g}v$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求加速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、周期與運(yùn)動(dòng)時(shí)間，分析清楚微粒運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與觀念，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律、粒子周期公式即可正確解題．