Question

5．某校物理興趣小組遙控賽車比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，比賽要求賽車順利通過(guò)豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，并能越過(guò)壕溝．已知賽車質(zhì)量m=0.1kg，通電后以額定功率P=1.5w工作，進(jìn)入豎直軌道前受到阻力恒為0.3N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不計(jì)．圖中L=10.00m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.50m．
問(wèn)：（1）要使賽車順利通過(guò)圓軌道，電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）試分析說(shuō)明賽車在恰能通過(guò)圓軌道的情況下能否順利越過(guò)壕溝（取g=10m/s² ）

Answer 1

分析 （1）通過(guò)牛頓第二定律和動(dòng)能定理求出小球要越過(guò)圓軌道最高點(diǎn)在B點(diǎn)的速度，通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)的軌道求出通過(guò)B點(diǎn)的速度，從而確定通過(guò)B點(diǎn)的最小速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作的時(shí)間．
（2）賽車在恰能通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求最高點(diǎn)的最小速度，再由機(jī)械能守恒求出賽車到達(dá)B點(diǎn)的速度，與上題中賽車剛好順利越過(guò)壕溝時(shí)通過(guò)B點(diǎn)的速度比較，即可作出判斷．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為v₁，根據(jù) mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得v₁=$\sqrt{gR}$
根據(jù)動(dòng)能定理得，mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得賽車通過(guò)B點(diǎn)的最小速度  v_B=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.32}$=4m/s．
故為保證過(guò)最高點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為v_B=4m/s
對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt′²得，t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$s=0.5s
則平拋運(yùn)動(dòng)初速度的最小值 v₀=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m/s．
為保證越過(guò)壕溝，到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為v₀=3m/s
因此賽車到達(dá)B點(diǎn)的速度至少為：v=v_B=4m/s
從A到B對(duì)賽車用動(dòng)能定理：Pt-fL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得t≥2.54s
（2）根據(jù)上題結(jié)果知，由于v_B＞v₀，所以賽車在恰能通過(guò)圓軌道的情況下能順利越過(guò)壕溝．
答：
（1）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作2.54s．
（2）賽車在恰能通過(guò)圓軌道的情況下能順利越過(guò)壕溝．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律，涉及到直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵要把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力提供向心力，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究平拋運(yùn)動(dòng)．