Question

7．如圖所示，截面為直角三角形的斜面體固定在水平地面上，兩斜光滑，斜面傾角分別為60°和30°，一條不可伸長的輕繩跨過固定在斜面頂端的光滑定滑輪連接著兩個小物體，已知物體B的質(zhì)量為m，起始A、B兩物體距地面的高度均為$\sqrt{3}$h，重力加速度為g．
（1）若A的質(zhì)量也為m，由靜止同時釋放兩物體，求當(dāng)A剛到地面時的速度大�。唬ù鸢缚梢詭Ц�號表示）
（2）若斜面體不固定，當(dāng)斜面體在外力作用下以大小為a的加速度水平向右做勻變速直線運動時，要使A、B兩物體相對斜面都不動，求：
①物體A的質(zhì)量m_A應(yīng)該滿足的條件；
②加速度a應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）同時釋放兩物體，由于斜面光滑，兩個物體組成的系統(tǒng)只有重力做功，機械能守恒，即可根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求解A剛到地面時的速度大小．
（2）要使A、B兩物體相對斜面都不動，加速度相同，斜面可能向右做勻加速運動，也可能向右做勻減速運動，分兩種情況，分別對A、B兩個物體，運用牛頓第二定律列式，即可解答

解答 解：（1）設(shè)A剛落地時的速度為v，
設(shè)繩子的拉力為T
對A：mgsin60°-T=ma（1）
對B：T-mgsin30°=ma（2）
（1）+（2）得到：$a=\frac{{（\sqrt{3}-1）}}{4}$
對A由運動學(xué)公式：，v²=2ax且x=2h 
得：$v=\sqrt{（\sqrt{3}-1）gh}$
（2）情形A一：當(dāng)斜面體向右做勻加速直線運動時，加速度方向水平向右，沿垂直斜面和平行斜面方向建立坐標(biāo)系進行正交分解
對A物體：$T-{m_A}gsin{60^0}={m_A}acos{60^0}$
對B物體：mgsin30°-T=macos30°
解得：${m_A}=\frac{{mg-\sqrt{3m}a}}{{\sqrt{3}g+a}}$
由等式右側(cè)的分子得，加速度的大小應(yīng)滿足$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}g$
加速度a越大，A物體的質(zhì)量越小，A物體質(zhì)量應(yīng)滿足$0＜{m_A}＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$
情形二：當(dāng)斜面體向右做勻減速直線運動時，加速度方向水平向左
對A物體：${m_A}gsin{60^0}-T={m_A}acos{60^0}$
對B物體：T-mgsin30°=macos30°
解得：${m_A}=\frac{{mg+\sqrt{3}ma}}{{\sqrt{3}g-a}}$
由等式右側(cè)的分母得，加速度的大小應(yīng)滿足$0＜a＜\sqrt{3}g$
加速度a越大，A物體的質(zhì)量越大，A物體質(zhì)量應(yīng)滿足${m_A}＞\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$
答：（1）若A的質(zhì)量也為m，由靜止同時釋放兩物體，求當(dāng)A剛到地面時的速度大小為$\sqrt{（\sqrt{3}-1）gh}$
（2）①物體A的質(zhì)量m_A應(yīng)該滿足的條件：$0＜{m_A}＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$②加速度a應(yīng)該滿足的條件為$0＜a＜\sqrt{3}g$．

點評 對于連接體問題，常常有兩種方法研究：一是機械能守恒；二是牛頓第二定律．本題采用隔離法由牛頓第二定律解答加速度問題，分析時要抓住兩個物體之間的聯(lián)系，比如加速度相同，繩子拉力大小相等．