Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為l．水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓槽形軌道右側(cè)以初速度v0沖上軌道，通過(guò)圓槽形軌道．水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓槽形軌道，己知R=0.2m，l=1.0m，v0=3m/s，物塊A的質(zhì)量為m=1kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，．軌道其他部分的摩擦不計(jì)，取g=lm/s2。

（1）求物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小；

（2）求物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓槽形軌道的高度；

（3）調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l，A以v'=2m/s的初速?gòu)能壍烙覀?cè)沖上軌道，求當(dāng)l滿足什么條件時(shí)，物塊A能第一次返回圓槽形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道。

Answer 1

【答案】（1）物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小為m/s。

（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓槽形軌道的高度為0.05m`；

（3）當(dāng)l滿足條件：1.0m≤l<1.5m或l≤0.25m時(shí)，物塊A能第一次返回圓槽形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道.

【解析】（1）物塊A從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與彈簧剛接觸的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：-μmgl=mv12-mv02，
解得：v1=m/s；
（2）A被彈簧以原速率v1彈回，向右經(jīng)過(guò)PQ段，由動(dòng)能定理得：-μmgl=mv22-mv12，
解得：v2=1m/s，
假設(shè)A恰好能到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=m，
解得：v=m/s，
A要能達(dá)到圓形軌道的最高點(diǎn)，在水平軌道上的最小速度為v′，由動(dòng)能定理得：

-mg2R=mv2-mv′2，
解得：v′=m/s＞v2，
則A不能到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)，設(shè)A能到達(dá)的最大高度為h，由動(dòng)能定理得：