Question

7．如圖，一端帶有半徑為R=0.45m的$\frac{1}{4}$圓弧、質(zhì)量為M=4m的滑板，AB段表面粗糙，BC段圓弧表面光滑，C為圓弧的端點(diǎn)，開始時(shí)滑板靜止在上表面光滑水平固定的凹形槽左端．小滑塊P₁和P₂的質(zhì)量均為m，與AB面間動(dòng)摩擦因數(shù)分別為?₁=0.20?和?₂=0.40，且滑動(dòng)摩擦力約等于最大靜摩擦力．開始時(shí)滑塊P₁和P₂靜止排列在滑板左端，期間有一小間隙．在滑板左端正上方的O點(diǎn)，用長(zhǎng)L=1.25m輕繩懸掛質(zhì)量為m的小球，靜止時(shí)繩處于豎起位置，小球與滑塊相切且位于同一水平面上．現(xiàn)將小球P由圖中水平虛線位置靜止釋放，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與P₁發(fā)生碰撞，接著P₁與P₂發(fā)生碰撞，碰撞過程中均無機(jī)械能損失，且時(shí)間極短，當(dāng)P₂滑到B點(diǎn)時(shí)，滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連，P₂繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)速度恰好為零．取g=10m/s²．求AB的長(zhǎng)度L．

Answer 1

分析 該題涉及的過程比較多，按照時(shí)間的順序解答：小球由靜止釋放至最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，求出與P₁碰撞前的速度，然后結(jié)合動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒求出P₁的速度，再進(jìn)一步求出P₂的速度，P₂向右運(yùn)動(dòng)的過程中受到摩擦力，由牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出AB的長(zhǎng)度．

解答 解：小球由靜止釋放至最低點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒：mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=5 m∕s
在最低點(diǎn)，小球與P₁相碰，P₁與P₂相碰，均滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律，選取向右為正方向，設(shè)碰后速度分別為v₁和v₂，則：
mv₀=mv₁+mv₂
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：v₁=0，v₂=5 m∕s    即小球與P₁相碰交換速度．
同理，P₁與P₂相碰也交換速度，P₁靜止在滑板的左端，P₂以 v₂=5 m∕s向右滑動(dòng)．
P₂向右滑動(dòng)時(shí)對(duì)滑板的摩擦力為：f=μ₂mg=4mN （向右）
對(duì)P₁及M有：f=（m+M）a
則：$a=\frac{f}{m+M}=\frac{4m}{5m}=0.8$m∕s²
此時(shí)，對(duì)P₁有：f′=ma=0.8m N＜f_m=μ₁mg=2.0m N
即P₁與滑板相對(duì)靜止且一起向右加速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)P₂滑到B點(diǎn)速度為v₃   由：$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=mgR$
解得：v₃=3m∕s
從P₁、P₂碰撞到P₂滑至B點(diǎn)時(shí)，設(shè)P₁及M的速度為v′，由動(dòng)量守恒得：mv₂=（m+M）v′+mv₃
解得：v′=0.4 m∕s
對(duì)P₁、P₂、M系統(tǒng)，據(jù)能量守恒定律得：$fL=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：L=1.9m
答：AB的長(zhǎng)度為1.9m．

點(diǎn)評(píng) 本題為動(dòng)量守恒定律及能量關(guān)系結(jié)合的綜合題目，難度較大；要求學(xué)生能正確分析過程，并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系；合理地選擇研究對(duì)象及過程；對(duì)學(xué)生要求較高．