Question

5．如圖所示，一半徑為r=0.25m的圓筒水平放置，其中心軸線垂直于紙面，圓筒上有一個(gè)小孔A．當(dāng)圓筒繞中心軸線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)且小孔A在O點(diǎn)右側(cè)與圓心O等高時(shí)，恰好有一個(gè)小球從小孔A沿水平向左方向進(jìn)入圓筒，小球在圓筒中運(yùn)動(dòng)0.2s后又從小孔A離開圓筒，取g=10m/s²，求：
（1）小球從A點(diǎn)進(jìn)入圓筒時(shí)的速度大小可能值；
（2）圓筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的可能值．

Answer 1

分析 （1）小球在圓筒中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中下落高度為h，根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)基本公式結(jié)合幾何關(guān)系求出速度即可；
（2）分圓筒順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)兩種情況分析，求出圓筒在0.2s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（用弧度為單位），再根據(jù)角速度的定義式求解可能的角速度，注意周期性．

解答 解：如圖所示，設(shè)小球離開圓筒時(shí)，小孔A轉(zhuǎn)到B或C位置．
（1）小球在圓筒中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中下落高度為h，
h=$\frac{1}{2}$gt²，
cosθ=$\frac{h}{r}$，
θ=37°，
小球從A點(diǎn)進(jìn)入圓筒時(shí)的速度大小為v₁時(shí)，小球從B位置離開圓筒
則 r+rsinθ=v₁t，
小球從A點(diǎn)進(jìn)入圓筒時(shí)的速度大小為v₂時(shí)，小球從C位置離開圓筒
則   r-rsinθ=v₂t，
解得v₁=2m/s，v₂=0.5 m/s，
（2）若圓筒順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在0.2s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（用弧度為單位）應(yīng)為
α₁=$\frac{2π（90°-θ）}{360}$+2πk（k=0、1、2、3…），
或 α₂=$\frac{2π（90°+θ）}{360}$+2πk （k=0、1、2、3…），
則圓筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可能為
ω₁=$\frac{{α}_{1}}{t}$=$\frac{53π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…），
ω₂=$\frac{{α}_{2}}{t}$=$\frac{127π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…），
若圓筒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在0.2s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度（用弧度為單位）應(yīng)為
α₃=$\frac{2π（270°-θ）}{360}$+2πk（k=0、1、2、3…），
或 α₄=$\frac{2π（270°+θ）}{360}$+2πk（k=0、1、2、3…），
則圓筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可能為
ω₃=$\frac{{α}_{3}}{t}$=$\frac{233π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…），
ω₄=$\frac{{α}_{4}}{t}$=$\frac{307π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）．
答：（1）小球從A點(diǎn)進(jìn)入圓筒時(shí)的速度大小可能值為2m/s或0.5m/s；
（2）圓筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的可能值為$\frac{53π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）、$\frac{127π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）、$\frac{233π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）或$\frac{307π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)基本公式以及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，在求解角速度時(shí)，既要分兩種情況求解，又要注意周期性，難度適中．