Question

5．如圖所示，半徑為R的豎直光滑半圓軌道BC與水平軌道AB相切于B，AB長(zhǎng)s_AB=1m，離水平地面h=1.6m．一質(zhì)量m=2kg的滑塊，以速度v₀=4m/s從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)B點(diǎn)滑上半圓軌道．已知滑塊與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求滑塊在平臺(tái)上從A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（結(jié)果可保留根式）；
（2）若滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，求R應(yīng)滿足的條件；
（3）若R=0.9m，求滑塊在地面上的落點(diǎn)到平臺(tái)左側(cè)的水平距離x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合位移時(shí)間公式求出滑塊在平臺(tái)A到B的時(shí)間．
（2）滑塊不脫離圓軌道，有兩種情況，一種情況是通過最高點(diǎn)，一種情況滑動(dòng)半圓弧一半高度不再上滑，結(jié)合臨界條件，運(yùn)用動(dòng)能定理求出半徑的臨界值，從而得出半徑的范圍．
（3）若R=0.9m，滑塊從圓軌道返回，由動(dòng)能定理得出返回A點(diǎn)的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${s}_{AB}={v}_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
由牛頓第二定律得：μmg=ma，
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得：t=$（2-\sqrt{3}）s$．
（2）①若滑塊恰好運(yùn)動(dòng)到半圓軌道的最高點(diǎn)，有：mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
由動(dòng)能定理得：$-μmg{s}_{AB}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.24m．
②若滑塊恰好滑到半圓弧一半高度時(shí)不再上滑，有：$-μmg{s}_{AB}-mgR=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.6m．
綜上所述，R應(yīng)滿足：R≤0.24m或R≥0.6m．
（3）R=0.9m＞0.6m，滑塊從圓軌道返回，由動(dòng)能定理得，
$-2μmg{s}_{AB}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{2}=2\sqrt{2}m/s$，
滑塊從A點(diǎn)水平拋出，有：x=v₂t₁，h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=1.6m．
答：（1）滑塊在平臺(tái)上從A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為（2-$\sqrt{3}$）s；
（2）若滑塊能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道，R應(yīng)滿足的條件為R≤0.24m或R≥0.6m．；
（3）若R=0.9m，滑塊在地面上的落點(diǎn)到平臺(tái)左側(cè)的水平距離x為1.6m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解題的關(guān)鍵．