Question

3．如圖所示，水平面xx′上豎直放著兩平行金屬板M，N，板間距離為L=1m，兩板間接一阻值為2Ω的電阻，在N板上開一小孔Q，在M，N及Q上方有向里勻強磁場B₀=1T，在Nx′范圍內(nèi)有一45°分界線連接Q和水平面，NQ與分界線間有向外的磁感應強度B=0.5T的勻強磁場；N、水平面及分界線間有豎直向上的電場；現(xiàn)有一質(zhì)量為0.2kg的金屬棒搭在M、N之間并與MN良好接觸，金屬棒在MN之間的有效電阻為1Ω，M、N電阻不計，現(xiàn)用額定功率為P₀=9瓦的機械以恒定加速度a=1m/s²勻加速啟動拉著金屬棒向上運動，在金屬棒達最大速度后，在與Q等高并靠近M板的P點釋放一個質(zhì)量為m電量為+q的離子，離子的比荷為20000C/kg，求：
（1）金屬棒勻加速運動的時間；（結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）
（2）離子剛出Q點時的速度；
（3）離子出Q點后，經(jīng)過磁場的豎直向上的電場作用下，剛好能打到分界線與水平面的交點K，過K后再也不回到磁場B中，求Q到水平面得距離及粒子在磁場B中的運動時間．

Answer 1

分析 （1）當金屬棒勻速運動時速度達到最大，由E=BLv求出電動勢，由歐姆定律球的電流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡條件求出金屬棒的速度，再根據(jù)v=at求出加速時間．
（2）由動能定理可以求出離子的速度．
（3）離子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出離子軌道半徑，然后求出Q到水平面的距離，求出離子的運動時間．

解答 解：（1）感應電動勢：E=B₀Lv，
安培力：F_安培=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
由P=Fv可知，拉力：F=$\frac{{P}_{0}}{v}$，
金屬棒勻速運動時速度最大，由平衡條件得：
mg+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{P}_{0}}{v}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=3m/s  （v=-9m/s  舍去），
由v=at可知，時間：t=$\frac{v}{a}$=$\frac{3}{1}$=3.0s；
（2）MN間的電壓：U=IR=$\frac{{B}_{0}Lv}{R+r}$R=$\frac{1×1×3×2}{2+1}$=2V，
對離子，由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv′²-0，代入數(shù)據(jù)解得：v′=200$\sqrt{2}$m/s；
（3）離子在磁場中做勻速運動，由牛頓第二定律得：
qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得，軌道半徑：r=0.02$\sqrt{2}$m，

如圖所示，Q到水平面得距離：d=r=0.02$\sqrt{2}$m，
離子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：T=2π×10^-4s，
離子在磁場中的運動時間：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$×10^-4s；
答：（1）金屬棒勻加速運動的時間為3.0s；
（2）離子剛出Q點時的速度為200$\sqrt{2}$m/s；
（3）Q到水平面得距離為0.02$\sqrt{2}$m，粒子在磁場B中的運動時間為$\frac{π}{2}$×10^-4s．

點評 本題是一道基礎(chǔ)題，涉及的知識點較多，分析清楚金屬棒的運動過程，作出離子運動軌跡是正確解題的關(guān)鍵；處理粒子在磁場中的運動問題，要作出粒子的運動軌跡．