Question

20．如圖所示，AC為光滑的水平桌面，輕彈簧的一端固定在A端的豎直墻壁上，質(zhì)量m=1kg的小物塊經(jīng)彈簧的另一端壓縮到B點，之后由靜止釋放，離開彈簧后從C點水平飛出，恰好從D點以v_D=$\sqrt{10}$m/s的速度沿切線方向進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道DEF（小物塊與軌道間無碰撞）．O為圓弧軌道的圓心，E為圓弧軌道的最低點，圓弧軌道的半徑R=1m，∠DOE=60°，∠EOF=37°．我小物塊運動到F點后，沖上足夠長斜面FG，斜面FG與與圓軌道相切于F點，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．不計空氣阻力．求：

（1）彈簧最初具有的彈性勢能；
（2）小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的E點時對軌道的壓力大小；
（3）判斷小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后能否回到圓弧軌道的D點？若能，求解小物塊回到D點的速度；若不能，求解經(jīng)過足夠長的時間后小物塊通過圓弧軌道最低點E的速度大小．

Answer 1

分析 （1）物塊離開C點后做平拋運動，由D點沿圓軌道切線方向進(jìn)入圓軌道，知道了到達(dá)D點的速度方向，將D點的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開C點時的速度v_C．再研究彈簧釋放的過程，由機械能守恒定律求彈簧最初具有的彈性勢能；
（2）物塊從D到E，運用機械能守恒定律求出通過E點的速度．在E點，由牛頓定律和向心力知識結(jié)合求物塊對軌道的壓力．
（3）假設(shè)物塊能回到D點，對物塊從A到返回D點的整個過程，運用動能定理求出D點的速度，再作出判斷．

解答 解：（1）物塊由D點沿圓軌道切線進(jìn)入圓軌道，則知通過D點的速度與水平方向的夾角為60°．
由速度分解法可得：物塊通過C點的速度為：v_C=v_Dcos60°=$\frac{\sqrt{10}}{2}$m/s
彈簧最初具有的彈性勢能為：E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=1.25J
（2）物塊從D到E，由機械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：v_E=2$\sqrt{5}$m/s，N=30N
由牛頓第三定律可知，物塊對軌道的壓力為：N′=N=30N
（3）設(shè)物塊第一次沿斜面上滑的距離為S．從E點到斜面上的最高點，根據(jù)動能定理得：
-mgR（1-cos37°）-mgSsin37°-μmgcos37°•S=0-$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：S=0.8m
設(shè)小物塊沿斜面FG第一次返回圓弧軌道后距E點的最大高度為h．從斜面上最高點到左側(cè)最高點的過程，根據(jù)動能定理得：
mgR（1-cos37°）+mgSsin37°-mgh-μmgcos37°•S=0
解得：h=0.36m
因為h＞R（1-cos37°）=0.2m，所以物塊能回到圓弧軌道的D點．
答：（1）彈簧最初具有的彈性勢能是1.25J；
（2）小物塊第一次到達(dá)圓弧軌道的E點時對軌道的壓力大小是30N；
（3）物塊能回到圓弧軌道的D點．

點評 本題是多過程問題，要按時間順序分析物體的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，在涉及力在空間的效果時，運用動能定理求速度是常用的方法．平拋運動常常根據(jù)運動的分解法研究．