Question

6．“嫦娥一號(hào)”成功實(shí)現(xiàn)了繞月飛行，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，則月球密度與地球密度之比以及月球第一宇宙速度與地球第一宇宙速度之比分別是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$和$\frac{1}{24}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$和$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{2}{3}$和$\frac{1}{12}$
• D． $\frac{2}{3}$和$\frac{\sqrt{6}}{12}$

Answer 1

分析 在天體表面$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，根據(jù)密度定義表示出密度公式，再通過(guò)已知量進(jìn)行比較．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式表示出周期和第一宇宙速度，再通過(guò)已知量進(jìn)行比較．

解答 解：在天體表面$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，所以GM=gR²，已知月球表面的重力加速度是地球重力加速度的$\frac{1}{6}$，月球半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，所以地球的質(zhì)量與月球的質(zhì)量之間的關(guān)系為：
$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}•{（\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}）}^{2}$
根據(jù)：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，GM=gR²，所以ρ=$\frac{3g}{4πR}$
地球的平均密度與月球的平均密度之比為：$\frac{{ρ}_{月}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}=\frac{1}{6}×\frac{4}{1}=\frac{2}{3}$；
忽略地球的自轉(zhuǎn)則有萬(wàn)有引力等于物體的重力，當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)有：
 mg_地=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{地}}$
解得：v₁=$\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}$
同理當(dāng)?shù)窃屡撛谠虑虮砻孀鲌A周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：
 mg_月=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{月}}$
解得：v₂=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}$
故$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$=$\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}_{月}}{{g}_{地}{R}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$；
所以選項(xiàng)D正確，ABC錯(cuò)誤．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 求一個(gè)物理量之比，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來(lái)，再進(jìn)行之比．
當(dāng)不知道中心天體的質(zhì)量和萬(wàn)有引力常量G，并知道中心天體表面的重力加速度g的時(shí)候要用黃金代換公式G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg求出GM=gr²．這是我們常用的一個(gè)技巧和方法要注意掌握．