Question

10．如圖所示，在第一象限內(nèi)OQ與x軸夾角為$\frac{π}{6}$，OQ與y軸所夾區(qū)域之間存在勻強(qiáng)電場E，電場方向豎直向上，第二、三、四象限及OQ與x軸正向所夾區(qū)域均存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的電子從A（0，h）點(diǎn)垂直y軸以v₀的初速度射入電場，并從C點(diǎn)以垂直O(jiān)Q的速度進(jìn)入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，從M點(diǎn)再次垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場．
（1）求電子第一次進(jìn)入電場和磁場時(shí)，E和B分別為多大；
（2）電子第二次進(jìn)入電場后，若改變E和B的大小，使電子每次都能從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場，再垂直O(jiān)Q方向進(jìn)入磁場，則粒子從A點(diǎn)開始經(jīng)多長時(shí)間能夠運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）在電場中類平拋和在磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)可求出E和B
（2）依次求出粒子第一次、第二次、第三次、類推出第n次在電磁場中的時(shí)間，再用數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）設(shè)粒子在C點(diǎn)的速度為${v}_{c}^{\;}$，則${v}_{c}^{\;}sin30°={v}_{0}^{\;}$有${v}_{c}^{\;}=2{v}_{0}^{\;}$①
在電E中，對粒子有$h-OCsin30°=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$②
$OC••cos30°={v}_{0}^{\;}t$③
粒子的加速度qE=ma④
${v}_{c}^{\;}cos30°=at$⑤
聯(lián)立以上各式得$E=\frac{5m{v}_{0}^{2}}{2qh}$           $OC=\frac{4}{5}h$
第一次進(jìn)入磁場后，勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，半徑$R=OC=\frac{4}{5}h$
$q{v}_{c}^{\;}B=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$⑦
得$R=\frac{m{v}_{c}^{\;}}{qB}=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$⑧
聯(lián)立以上幾式得$B=\frac{5m{v}_{0}^{\;}}{2qh}$
（2）粒子第一次在電磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{1}^{\;}={t}_{E}^{\;}+{t}_{B}^{\;}=\frac{OCcos30°}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{300°}{360°}\frac{2πR}{{v}_{c}^{\;}}$=$\frac{\frac{4}{5}hcos30°}{{v}_{0}^{\;}}+\frac{5}{6}×\frac{2π\(zhòng)frac{4}{5}h}{2{v}_{0}^{\;}}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{π}{3}）\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$
由題意知，改變電場、磁場的強(qiáng)弱后，粒子重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)情況，第二次在磁場中半徑$R′=\frac{4}{5}OC=（\frac{4}{5}）_{\;}^{2}h$
粒子第二次在電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{R′cos30°}{2{v}_{0}^{\;}}+\frac{300°}{360°}\frac{2πR′}{4{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{2}{5}{t}_{1}^{\;}$
同理粒子第三次在磁場中半徑$R″=\frac{4}{5}R′=（\frac{4}{5}）_{\;}^{3}h$
粒子第三次在電磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{3}^{\;}=\frac{R″cos30°}{4{v}_{0}^{\;}}+\frac{300°}{360°}\frac{2πR″}{8{v}_{0}^{\;}}$=
以此類推，粒子第n次在電磁場總時(shí)間${t}_{n}^{\;}=（\frac{2}{5}）_{\;}^{n-1}{t}_{1}^{\;}$
所以粒子最終運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為$t=\frac{{t}_{1}^{\;}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{5}{3}×（\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{2π}{3}）×\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{9}）\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$
答：（1）求電子第一次進(jìn)入電場和磁場時(shí)，E為$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{2qh}$為和B為$\frac{5m{v}_{0}^{\;}}{2qh}$
（2）電子第二次進(jìn)入電場后，若改變E和B的大小，使電子每次都能從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場，再垂直O(jiān)Q方向進(jìn)入磁場，則粒子從A點(diǎn)開始經(jīng)時(shí)間$（\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{10π}{9}）\frac{h}{{v}_{0}^{\;}}$能夠運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，突出體現(xiàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，有一定的難度．