Question

17．如圖所示，一長木板A放在水平地面上，可視為質(zhì)點的滑塊B靜止放在距A左端為L_o的木板上，與B完全相同的C以水平初速度v₀沖上A并能與B相碰，B、C碰后粘在一起不再分開并一起向右運動．已知A、B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，B、C與A的動摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{1}{4}$，A與地面的動摩擦因數(shù)μ₂=$\frac{1}{8}$，v₀=$\sqrt{\frac{9}{2}g{L}_{0}}$，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩力．求：

（1）物塊C沖上木板瞬間，物塊A、B、C的加速度各為多少？
（2）C與B發(fā)生碰撞后的速度大小為多少？
（3）為使B、C結(jié)合體不從A右端掉下來．A的長度至少要多長？

Answer 1

分析 （1）物塊C沖上木板瞬間，對A、B、C分別受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度；
（2）對物體C運用動能定理列式求解碰撞前速度；對碰撞過程根據(jù)動量守恒定律列式求解碰撞后的速度；
（3）先對BC整體、A分別受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，當速度相等時不掉來即可；再結(jié)合動能定理列式求解．

解答 解：（1）C沖上A后，C受到的摩擦力大小為：
${f}_{C}={μ}_{1}mg=\frac{1}{4}mg$…①
A受地面的最大靜摩擦力大小為：
${f}_{Am}={μ}_{2}（3m）g=\frac{3}{8}mg$…②
由于f_Am＞f_C，所以A、B保持靜止，即加速度a_A=0，a_B=0，
由牛頓第二定律：f_c=ma_C…③
a_c=$\frac{1}{4}g$=2.5m/s²；　　　　　　　 　　　　　
（2）C在A上做減速運動，設(shè)其碰前速度為v_c，由動能定理得
-${μ}_{1}mg{L}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…④
滑塊B、C碰撞過程滿足動量守恒，設(shè)碰后速度為v_BC，有
mv_C=2mv_BC…⑤
解得：
v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}g{L}_{0}}$
v_BC=$\frac{1}{2}\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}g{L}_{0}}$=2$\sqrt{g{L}_{0}}$ 　　　　　　　　　　
（3）B、C結(jié)合體受到A的摩擦力${f}_{BC}=2{μ}_{1}mg=\frac{1}{2}mg$，方向向左．
根據(jù)牛頓第三定律，結(jié)合體給A向右的摩擦力${f}_{BC}^{′}$=f_BC（＞f_Am）…⑥
故A做初速度為零的勻加速直線運動，BC做勻減速直線運動．設(shè)剛達到的共同速度為v_ABC，由牛頓第二定律知：
對BC：f_BC=2ma_BC…⑦
對A：${f}_{BC}^{′}-{f}_{Am}=m{a}_{A}^{′}$…⑧
由運動學(xué)方程：v_ABC=v_BC-a_BCt…⑨
${v}_{ABC}={a}_{A}^{′}t$…⑩
設(shè)A從運動到共速，對地的位移為S_AB，BC在這段時間的對地位移為S_BC，由動能定理：
對BC：-${f}_{BC}{S}_{BC}=\frac{1}{2}•2m{v}_{ABC}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{BC}^{2}$…⑪
對A：（${f}_{BC}-{f}_{A}）{S}_{A1}=\frac{1}{2}•m{v}_{ABC}^{2}$S_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{ABC}^{2}-0$…⑫
結(jié)合體BC在A上運動的距離為：△L=S_BC-S_A1…⑬
若達到共同速度v_ABC時，結(jié)合體BC恰好運動至木板A的最右端，木板長度最少：
L=L₀+△L=$\frac{7}{3}{L}_{0}$
答：（1）物塊C沖上木板瞬間，物塊A、B、C的加速度分別為$\frac{1}{4}g$、0、0；
（2）C與B發(fā)生碰撞前的速度大小為2$\sqrt{g{L}_{0}}$；　　
（3）為使B、C結(jié)合體不從A右端掉下來，A的長度至少為$\frac{7}{3}{L}_{0}$．

點評 本題考查動量守恒定律的應(yīng)用，本題中涉及的物體多、過程多、知識點多，關(guān)鍵是明確受力情況、運動情況，然后分過程選擇恰當?shù)囊?guī)律列式求解．