Question

18．有一種“彈珠游戲”可簡化為下述模型：水平軌道與半徑為r的光滑半圓軌道在M點(diǎn)平滑連接．輕質(zhì)彈簧左端固定．自然伸長時右端在Q點(diǎn)．質(zhì)量為m的小球A擱在彈簧另一端，與彈簧接觸但未連接，如圖所示．水平軌道Q點(diǎn)左側(cè)光滑，小球A與右側(cè)QM段軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，QM=2r．第一次小球A在水平外力F的拉動下緩慢壓縮彈簧移動到P點(diǎn)，釋放后，恰能運(yùn)動到與圓心O等高的D點(diǎn)；第二次稍做調(diào)整，把小球A拉到P點(diǎn)左側(cè)的S點(diǎn)再釋放，小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)N．設(shè)重力加速度為g．
（1）第一次釋放小球A后，剛進(jìn)入圓軌道M點(diǎn)時對軌道的壓力；
（2）第一次釋放小球時彈簧彈性勢能E_p1與第二次釋放小球時彈簧彈性勢能E_p2之比．

Answer 1

分析 （1）第一次釋放小球A后，先由機(jī)械能守恒定律求出小球通過M點(diǎn)的速度，再由牛頓第二、第三定律求解小球在M點(diǎn)時對軌道的壓力；
（2）根據(jù)能量守恒定律求出第一次釋放小球時彈簧彈性勢能E_p1；第二次小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)N，由重力提供向心力，列式可求出小球通過N點(diǎn)的速度；再由能量守恒定律求解彈簧彈性勢能E_p2．即可求解．

解答 解：（1）設(shè)過M點(diǎn)時小球的速度為v，由機(jī)械能守恒有：
  mgr=$\frac{1}{2}$mv²，
在M點(diǎn)，對小球進(jìn)行受力分析有：
 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立以上兩式得：N=3mg
由牛頓第三定律得，小球?qū)�軌道壓力大小�?mg，方向豎直向下；
（2）第一次釋放小球，由能量守恒有：
  E_p1=2μmgr+mgr
第二次釋放小球，恰能過N點(diǎn)，則有：mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{r}$
可得在N點(diǎn)的速度為：v_N=$\sqrt{gr}$
由能量守恒有：
  E_p2=2μmgr+mg•2r+$\frac{1}{2}$mv_N²，
則$\frac{{E}_{P1}}{{E}_{P2}}$=$\frac{2+4μ}{5+4μ}$
答：
（1）第一次釋放小球A后，剛進(jìn)入圓軌道M點(diǎn)時對軌道的壓力大小為3mg，方向豎直向下；
（2）第一次釋放小球時彈簧彈性勢能E_p1與第二次釋放小球時彈簧彈性勢能E_p2之比（2+4μ）：（5+4μ）．

點(diǎn)評 本題考查了能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律，同時還有機(jī)械能守恒和向心力知識，關(guān)鍵要分析清楚運(yùn)動過程，選擇相應(yīng)的物理規(guī)律，能熟練運(yùn)用牛頓第二定律、能量守恒定律等規(guī)律正確解題．