Question

1．如圖所示，一斜面固定在水平面上，傾角為θ=30°，高度為h=1.5m，一薄木板B置于斜面頂端，恰好能保持靜止，木板下端連接有一根自然長(zhǎng)度為l₀=0.2m的輕彈簧，木板總質(zhì)量為m=1kg，總長(zhǎng)度為L(zhǎng)=2.0m，一質(zhì)量為M=3kg的小物塊A從斜面體左側(cè)某位置水平拋出，該位置離地面高度為H=1.7m，物塊A經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后從斜面沿平行于斜面方向落到木板上并開(kāi)始向下滑行，已知A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$μ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，木板下滑到斜面底端碰到擋板時(shí)立刻停下，物塊A最后恰好能脫離彈簧，且彈簧被壓縮時(shí)一直處于彈性限度內(nèi)，最大摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）物塊A落地木板上的速度大小v；
（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)間的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）物塊A落到木板前做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求解物塊A和木板B的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出AB達(dá)到共同速度的時(shí)間及共同速度大�。籄B達(dá)到共同速度以后整體一起沿斜面向下做勻速運(yùn)動(dòng)，木板與擋板碰撞后木板停止運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物塊與彈簧剛接觸時(shí)的速度，從物塊剛接觸彈簧到物塊剛離開(kāi)彈簧，根據(jù)能量守恒定律，即可求出產(chǎn)生的內(nèi)能；再?gòu)奈飰K剛接觸彈簧到壓縮到最短的過(guò)程，根據(jù)能量守恒定律，即可求出彈簧的彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）物塊A落到木板前做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向：$2g（H-h）={v}_{y}^{2}$，
得：${v}_{y}^{\;}=2m/s$
物塊A落到木板時(shí)的速度大小為：$v=\frac{{v}_{y}^{\;}}{sin30°}=4m/s$
（2）由木板恰好靜止在斜面上，得到斜面與木板間的摩擦因數(shù)${μ}_{0}^{\;}$應(yīng)滿足：
$mgsin30°={μ}_{0}^{\;}mgcos30°$
得：${μ}_{0}^{\;}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 
物塊A在木板上滑行時(shí)，以A為對(duì)象有：${a}_{A}^{\;}$=$\frac{μMgcos30°-Mgsin30°}{M}$=2.5$m/{s}_{\;}^{2}$（沿斜面向上）
以木板B為對(duì)象有：${a}_{B}^{\;}$=$\frac{μMgcos30°+mgsin30°-{μ}_{0}^{\;}（M+m）gcos30°}{m}$=7.5$m/{s}_{\;}^{2}$（沿斜面向下）
假設(shè)A與木板達(dá)到${v}_{共}^{\;}$時(shí)，A還沒(méi)有壓縮彈簧且木板還沒(méi)有到達(dá)底端，則有：
${v}_{共}^{\;}={a}_{B}^{\;}t=v-{a}_{A}^{\;}t$
解得：${v}_{共}^{\;}=3m/s$，t=0.4s
此過(guò)程，${x}_{A}^{\;}=\frac{v+{v}_{共}^{\;}}{2}•t=1.4m$，${x}_{B}^{\;}=\frac{{v}_{共}^{\;}}{2}•t=0.6m$$＜\frac{h}{sin30°}-L=1m$
故$△x={x}_{A}^{\;}-{x}_{B}^{\;}=0.8m$＜L-${l}_{0}^{\;}$=1.8m，說(shuō)明以上假設(shè)成立
共速后，由于（M+m）gsin30°=${μ}_{0}^{\;}$（M+m）gcos30°，A與木板B一起勻速到木板與底端擋板碰撞，木板停下，此后A做勻減速到與彈簧接觸的過(guò)程，設(shè)接觸彈簧時(shí)A的速度為${v}_{A}^{\;}$，有：$-2{a}_{A}^{\;}（L-{l}_{0}^{\;}-△x）$=${v}_{A}^{2}-{v}_{共}^{2}$
解得：${v}_{A}^{\;}=2m/s$   
設(shè)彈簧最大壓縮量為${x}_{m}^{\;}$，A從開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到剛好回到原長(zhǎng)過(guò)程有：
$Q=2μMg{x}_{m}^{\;}cos30°$=$\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$
得：Q=6J，${x}_{m}^{\;}=\frac{2}{15}m$
A從開(kāi)始?jí)嚎s彈簧到彈簧最短過(guò)程有：
${E}_{pm}^{\;}=\frac{1}{2}M{v}_{A}^{2}$+$Mg{x}_{m}^{\;}sin30°$-$\frac{1}{2}Q$=5J
即彈簧壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能為5J
答：（1）物塊A落地木板上的速度大小v為4m/s；
（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)間的彈性勢(shì)能為5J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及能量守恒定律，過(guò)程復(fù)雜，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的要求較高，要加強(qiáng)這類題型的訓(xùn)練．