Question

12．一根兩端開口、粗細(xì)均勻的長直玻璃管橫截面積為S=2×10^-3m²，豎直插入水面足夠?qū)拸V的水中．管中有一個(gè)質(zhì)量為m=0.4kg的密閉活塞，封閉一段長度為L₀=66cm的氣體，氣體溫度T₀=300K，如圖所示．開始時(shí)，活塞處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計(jì)活塞與管壁間的摩擦．外界大氣壓強(qiáng)p₀=1.0×10⁵Pa，水的密度ρ=1.0×10³ kg/m³．試問：
（1）開始時(shí)封閉氣體的壓強(qiáng)是多大？
（2）現(xiàn)保持管內(nèi)封閉氣體溫度不變，用豎直向上的力F緩慢地拉動(dòng)活塞．當(dāng)活塞上升到某一位置時(shí)停止移動(dòng)，此時(shí)F=6.0N，則這時(shí)管內(nèi)外水面高度差為多少？管內(nèi)氣柱長度多大？
（3）再將活塞固定住，改變管內(nèi)氣體的溫度，使管內(nèi)外水面相平，此時(shí)氣體的溫度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)活塞受力平衡求開始時(shí)封閉氣體的壓強(qiáng)
（2）先根據(jù)活塞受力平衡求封閉氣體的壓強(qiáng)，再根據(jù)封閉氣體壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)的關(guān)系求管內(nèi)外水面的高度差，根據(jù)玻意耳定律求管內(nèi)氣柱長度
（3）根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程求最終內(nèi)外水面相平時(shí)的溫度

解答 解：（1）當(dāng)活塞靜止時(shí)，封閉氣體的壓強(qiáng)為：
${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}=1.02×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（2）當(dāng)F=6.0N時(shí)，有：
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg-F}{S}=9.9×1{0}_{\;}^{4}{p}_{a}^{\;}$
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}-ρgh$
管內(nèi)外液面的高度差為：
$h=\frac{{p}_{0}^{\;}-{p}_{2}^{\;}}{ρg}=0.1m$
由玻意耳定律有：${p}_{1}^{\;}{L}_{1}^{\;}S={p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}S$
空氣柱長度為：${L}_{2}^{\;}=\frac{{p}_{1}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}}{L}_{1}^{\;}=68cm$
（3）${p}_{3}^{\;}={p}_{0}^{\;}=1.0×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$，${L}_{3}^{\;}=68+10=78cmHg$，${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}={T}_{0}^{\;}=300K$
由氣態(tài)方程：$\frac{{p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}S}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{p}_{3}^{\;}{L}_{3}^{\;}S}{{T}_{3}^{\;}}$
代入數(shù)據(jù)：$\frac{9.9×1{0}_{\;}^{4}×68S}{300}=\frac{1.0×1{0}_{\;}^{5}×78S}{{T}_{3}^{\;}}$
氣體溫度變?yōu)椋?{T}_{3}^{\;}=\frac{{p}_{3}^{\;}{L}_{3}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}}{T}_{1}^{\;}=347.6K$$（{t}_{3}^{\;}=74.6℃）$
答：（1）開始時(shí)封閉氣體的壓強(qiáng)是$1.02×1{0}_{\;}^{5}{p}_{a}^{\;}$
（2）現(xiàn)保持管內(nèi)封閉氣體溫度不變，用豎直向上的力F緩慢地拉動(dòng)活塞．當(dāng)活塞上升到某一位置時(shí)停止移動(dòng)，此時(shí)F=6.0N，則這時(shí)管內(nèi)外水面高度差為0.1m，管內(nèi)氣柱長度68cm
（3）再將活塞固定住，改變管內(nèi)氣體的溫度，使管內(nèi)外水面相平，此時(shí)氣體的溫度是74.6℃

點(diǎn)評 本題考查氣體實(shí)驗(yàn)定律與理想氣體狀態(tài)方程的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是壓強(qiáng)的求解通過對活塞受力分析由受力平衡求解，找出封閉氣體的壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)的關(guān)系，運(yùn)用氣體實(shí)驗(yàn)定律或理想氣體狀態(tài)方程列方程一定要確定初末狀態(tài)參量，代入公式求解．