Question

4．如圖所示，在光滑絕緣的水平面上，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣輕桿，可繞固定轉(zhuǎn)軸O在水平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電小球，整個(gè)裝置置于場(chǎng)強(qiáng)為E方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，小球受到方向始終與桿垂直的作用力F．從桿與電場(chǎng)方向垂直的圖示位置開始計(jì)時(shí)，桿轉(zhuǎn)過的角度用θ表示，選取轉(zhuǎn)軸O處電勢(shì)為零．
（1）當(dāng)桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過90°，求小球電勢(shì)能的變化量；
（2）若桿以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求小球電勢(shì)能最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻；
（3）若在圖示位置給小球向右的初速度v₀，且F=$\frac{qE}{2}$，求桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中小球的最小速度？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場(chǎng)力做功等于電勢(shì)能的改變量來計(jì)算小球電勢(shì)能的變化；
（2）電場(chǎng)力做負(fù)功的時(shí)候，電勢(shì)能增加，做的負(fù)功最多的時(shí)候，電勢(shì)能最大；
（3）合力做負(fù)功的時(shí)候，小球的速度減小，做負(fù)功最多的時(shí)候，速度最小，分析做功的情況，計(jì)算小球的最小速度．

解答 解：（1）根據(jù)功能得到關(guān)系可知，
△E_P=-W=EqL 
（2）桿以角速度ω逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球電勢(shì)能E_p隨時(shí)間t變化關(guān)系為：
E_P=EqL sin（ωt）
可知當(dāng)ωt=2kπ+$\frac{π}{2}$（k=0，1，2，3…）時(shí)，電勢(shì)能E_p最大，因此，解得：t=$\frac{（4k+1）π}{2ω}$（k=0，1，2，3…） 
（3）因開始時(shí)FL＜EqL，桿先減速轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)FL＞qELcosθ，桿加速轉(zhuǎn)動(dòng)．所以當(dāng)FL=qELcosθ 時(shí)速度最小    
將$F=\frac{qE}{2}$代入解得：cosθ=0.5，所以θ=60° 
設(shè)桿轉(zhuǎn)到θ=60°時(shí)，小球速度恰減小到0，則由動(dòng)能定理$FL\frac{π}{3}-EqLsin\frac{π}{3}=0-\frac{1}{2}mv_0^2$
將$F=\frac{qE}{2}$代入解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{EqL（3\sqrt{3}-π）}{3m}}$  
因此  ①當(dāng)${v_0}≤\sqrt{\frac{{EqL（3\sqrt{3}-π）}}{3m}}$時(shí)，
桿轉(zhuǎn)動(dòng)的最大轉(zhuǎn)角小于60°速度減為零，桿將順時(shí)針往回?cái)[，所以最小速度v_min=0 
②當(dāng)${v}_{0}＞\sqrt{\frac{EqL（3\sqrt{3}-π）}{3m}}$時(shí)，
桿將先減速后加速轉(zhuǎn)動(dòng)，桿轉(zhuǎn)到θ=60°時(shí)，小球速度最�。�
由動(dòng)能定理$FL\frac{π}{3}-EqLsin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}mv_{min}^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
將$F=\frac{qE}{2}$
代入解得：${v}_{min}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{EqL（3\sqrt{3}-π）}{3m}}$
答：（1）當(dāng)桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)過90°，小球電勢(shì)能的變化量為EqL；
（2）若桿以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小球電勢(shì)能最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為$\frac{（4k+1）π}{2ω}$（k=0，1，2，3…）；
（3）若在圖示位置給小球向右的初速度v₀，且F=$\frac{qE}{2}$，桿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中小球的最小速度為${v}_{min}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{EqL（3\sqrt{3}-π）}{3m}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查小球運(yùn)動(dòng)的過程中的能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系，要明確機(jī)械能守恒的條件與能量轉(zhuǎn)化的方向之間的關(guān)系，關(guān)鍵是第三問中要主要分情況來討論．