Question

16．如圖甲所示，在半徑為R的圓柱形區(qū)域內(nèi)存在方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，根據(jù)麥克斯韋電磁理論，當(dāng)磁場(chǎng)均勻增加時(shí)，會(huì)在空間激發(fā)恒定的感生電場(chǎng)，其電場(chǎng)線是在水平面內(nèi)的一系列沿順時(shí)針方向的同心圓，圓心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心O重合．在半徑為r的圓周上，感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等，并且可以用E=$\frac{?}{2πr}$計(jì)算，式中?為由于磁場(chǎng)均勻變化而在半徑為r的圓周上產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)．
如圖乙所示，在圖甲的磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，在光滑水平支撐面上放置一半徑為r（r＜R）的由絕緣材料制成的細(xì)圓環(huán)，圓心和磁場(chǎng)區(qū)域的中心O重合．細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m，電荷量為+q（q＞0），且質(zhì)量和電荷量都均勻分布．在時(shí)間t₀內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度由0均勻增加到B₀，此后保持B₀不變．（假設(shè)圓環(huán)的電荷量保持不變，忽略圓環(huán)上電荷運(yùn)動(dòng)時(shí)激發(fā)的磁場(chǎng)和相對(duì)論效應(yīng)）

（1）求時(shí)間t₀內(nèi)圓環(huán)所在位置感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）磁場(chǎng)增強(qiáng)時(shí)圓環(huán)開始繞圓心O無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度大��；
（3）當(dāng)圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷圓環(huán)上的電荷受到的洛倫茲力的方向，并求圓環(huán)中張力（或擠壓力）的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，結(jié)合題目給出的感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度公式，即可求解
（2）求出電荷所受電場(chǎng)力，然后運(yùn)用牛頓第二定律求出切向加速度，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度，再結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)v=ωr求出角速度
（3）利用左手定則判斷洛倫茲力方向，運(yùn)用微元法求張力．

解答 解：（1）導(dǎo)體圓環(huán)內(nèi)的磁通量發(fā)生變化，將產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，感生電動(dòng)勢(shì)為：${E}_{感}=\frac{△B}{△t}S=\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}π{r}^{2}$
時(shí)間t₀內(nèi)圓環(huán)所在位置感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小
$E=\frac{{E}_{感}}{2πr}$=$\frac{q{B}_{0}r}{2{t}_{0}}$
（2）細(xì)圓環(huán)等效為一個(gè)帶電量為q的帶電小球，所受的電場(chǎng)力$F=qE=\frac{q{B}_{0}r}{2{t}_{0}}$
切向加速度a=$\frac{F}{m}$=$\frac{q{B}_{0}r}{2m{t}_{0}}$
經(jīng)過時(shí)間t₀，速度v=at₀=$\frac{q{B}_{0}r}{2m}$
角速度$ω=\frac{v}{r}$=$\frac{q{B}_{0}}{2m}$
（3）由左手定則得，圓環(huán)上電荷所受洛倫茲力指向圓心；當(dāng)環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，環(huán)上電荷也隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，形成電流，電流在磁場(chǎng)中受力導(dǎo)致環(huán)中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場(chǎng)中受到的安培力有關(guān)．由題意可知環(huán)上各點(diǎn)所受安培力方向均不同，張力方向也不同，因而只能在環(huán)上取一小段作為研究對(duì)象，從而求出環(huán)中張力的大�。�在圓環(huán)上取△l=r△θ圓弧元，受力情況如圖所示．因轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω而形成電流：$I=\frac{qω}{2π}$，電流元I△L所受的安培力△F=I△lB₀=$\frac{rω}{2π}q{B}_{0}△θ$
圓環(huán)法線方向合力圓弧元做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故：$2Tsin\frac{△θ}{2}+△F=△m{ω}^{2}r$
當(dāng)△θ很小時(shí)，$sin\frac{△θ}{2}≈\frac{△θ}{2}$，故有$T△θ+\frac{rω}{2π}q{B}_{0}△θ=\frac{m{ω}^{2}r}{2π}△θ$
解得圓環(huán)中張力
T=$\frac{rω}{2π}（mω-q{B}_{0}）$
將（2）中ω代入上式T=-$\frac{{q}^{2}{B}_{0}^{2}r}{8π}$（負(fù)號(hào)表示與圖示方向相反）
答：（1）求時(shí)間t₀內(nèi)圓環(huán)所在位置感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E為$\frac{q{B}_{0}r}{2{t}_{0}}$；
（2）磁場(chǎng)增強(qiáng)時(shí)圓環(huán)開始繞圓心O無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度大小為$\frac{q{B}_{0}}{2m}$；
（3）當(dāng)圓環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷圓環(huán)上的電荷受到的洛倫茲力的方向，并求圓環(huán)中張力（或擠壓力）的大小為$\frac{{q}^{2}{B}_{0}^{2}r}{8π}$．

點(diǎn)評(píng) 考查電磁學(xué)與力學(xué)綜合運(yùn)用的內(nèi)容，掌握法拉第電磁感應(yīng)定律，注意電場(chǎng)強(qiáng)度與電動(dòng)勢(shì)的符號(hào)區(qū)別，第一問比較基礎(chǔ)，第三問有創(chuàng)新，比較新穎，難度較大．