Question

16．如圖所示，光滑軌道ABCBO在同一豎直平面內(nèi)，AB段為半徑為R的四分之一圓弧，圓心在O點(diǎn)，該圓弧與圓軌道BCB及半橢圓形軌道BO相切于B點(diǎn)，現(xiàn)讓一質(zhì)量為m的小球以向下的初速度v₀從A點(diǎn)進(jìn)入軌道，結(jié)果在C點(diǎn)對圓軌道的壓力為F，在O點(diǎn)對軌道的壓力恰好為零．
（1）求圓軌道BCB的半徑r₁；
（2）求橢圓軌道在O點(diǎn)的曲率半徑r₂；
（3）若軌道表面是粗糙的，讓小球以2v₀的向下速度從A點(diǎn)進(jìn)入軌道，結(jié)果小球從O點(diǎn)拋出后恰好打在AB弧段的中點(diǎn)，則小球在O點(diǎn)對軌道的壓力為多大？此過程克服摩擦力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）軌道是光滑的，從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律列式．在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律列式，聯(lián)立可求圓軌道BCB的半徑r₁；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒可知，小球運(yùn)動到O點(diǎn)時(shí)速度大小為v₀，在O點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求橢圓軌道在O點(diǎn)的曲率半徑r₂；
（3）小球從O點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律求出O點(diǎn)的速度，在O點(diǎn)，由牛頓定律求小球在O點(diǎn)對軌道的壓力．從A點(diǎn)到O點(diǎn)根據(jù)動能定理求克服摩擦力做功．

解答 解：（1）由于軌道是光滑的，從A點(diǎn)到C點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：
   $\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mgR=2mgr₁+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
  F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：r₁=$\frac{m{v}_{0}^{2}+2mgR}{F+5mg}$
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，小球運(yùn)動到O點(diǎn)時(shí)速度大小為v₀．由于小球在O點(diǎn)對軌道的壓力為零，有：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
得：r₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
（3）小球從O點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動，
水平方向有  $\frac{\sqrt{2}}{2}$R=v₂'t
豎直方向有  $\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{1}{2}$gt²
在O點(diǎn)，由牛頓第二定律有：F'+mg=m$\frac{{v}_{2}{'}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：F'=（$\frac{\sqrt{2}gR}{4{v}_{0}^{2}}$-1）mg
所以由牛頓第三定律得小球?qū)�軌道的壓力為：F=F'=（$\frac{\sqrt{2}gR}{4{v}_{0}^{2}}$-1）mg
從A點(diǎn)到O點(diǎn)根據(jù)動能定理有：
W=$\frac{1}{2}$m（2v₀）²-$\frac{1}{2}$mv₂'²
解得：W=2m${v}_{0}^{2}$-$\frac{\sqrt{2}mgR}{8}$
答：（1）圓軌道BCB的半徑r₁是$\frac{m{v}_{0}^{2}+2mgR}{F+5mg}$．
（2）橢圓軌道在O點(diǎn)的曲率半徑r₂是$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$．
（3）小球在O點(diǎn)對軌道的壓力為（$\frac{\sqrt{2}gR}{4{v}_{0}^{2}}$-1）mg，此過程克服摩擦力做功為2m${v}_{0}^{2}$-$\frac{\sqrt{2}mgR}{8}$．

點(diǎn)評 本題要認(rèn)真分析物體的運(yùn)動過程和狀態(tài)，在圓軌道和橢圓上某一狀態(tài)，運(yùn)用牛頓定律研究．兩個(gè)狀態(tài)之間速度的關(guān)系運(yùn)用動能定理或機(jī)械能守恒定律研究．