Question

16．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy的第一、四象限區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)：垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)II，Q、M、P、Q為磁場(chǎng)邊界和x軸的交點(diǎn)，OM=MP=L在第三象限存在沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)為（-2L，-L）的點(diǎn)以速度υ₀沿+x方向運(yùn)動(dòng)，恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O處射入?yún)^(qū)域I又從M點(diǎn)射出區(qū)域I（粒子的重力忽略不計(jì)），求：
（1）粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）區(qū)域I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及方向；
（3）若帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，粒子兩次經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為多少？
（4）若僅調(diào)整區(qū)域I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，使帶電粒子能從區(qū)域I中射出，則區(qū)域I的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出速度．
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由題意，粒子經(jīng)過(guò)C處射入?yún)^(qū)域I又沿x的正方向射出區(qū)域I，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）分段求出時(shí)間，即可求得總時(shí)間；
（4）當(dāng)帶電粒子恰好能再次回到C，在磁場(chǎng)Ⅱ中軌跡恰好與其右邊界相切，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系即可求出磁場(chǎng)的寬度．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
x方向：2L=v₀t，
y方向：L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
方向與x軸正方向夾角為45°；
（2）粒子在Ⅰ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，在Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：R₂=$\sqrt{2}$L，
粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{\frac{π}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{4{v}_{0}}$，t₂=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
t₃=$\frac{\frac{3π}{2}×\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$，t_總=2（t₁+t₂）+t₃=$\frac{（2+2π）L}{{v}_{0}}$；
（4）如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0時(shí)，粒子區(qū)域Ⅰ中做直線運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)粒子的軌跡與區(qū)域Ⅰ的右邊界相切時(shí)，
由幾何知識(shí)可得：R+Rsin45°=L，
由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B₂=（$\sqrt{2}$+1）$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，
則要使粒子從區(qū)域Ⅰ中射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小范圍是：0＜B＜（$\sqrt{2}$+1）$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
答：（1）粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度為：$\sqrt{2}$v₀，方向與x軸正方向夾角為45°；
（2）區(qū)域I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$，方向：垂直與紙面向外；
（3）若帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，粒子兩次經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為=$\frac{（2+2π）L}{{v}_{0}}$；
（4）區(qū)域I的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小范圍是：0＜B＜（$\sqrt{2}$+1）$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場(chǎng)中注意由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．