Question

6．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E，在第四象限有一半徑為R的半圓形的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向里，半圓的直徑OA在x軸上，一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的粒子在過半圓的圓心O′且平行于y軸的直線MN上，帶電粒子由靜止釋放后，在電場力作用下加速進(jìn)入磁場，最終平行于x軸出磁場，不計粒子的重力，求：
（1）粒子剛開始釋放時的坐標(biāo)（x₁，y₁）
（2）要使粒子剛好從A點(diǎn)飛出磁場，則從釋放到A點(diǎn)所需要的時間為多少？
（3）若將該粒子放在y軸上（O，y₁）點(diǎn)，并以一初速度沿x軸正向飛進(jìn)電場，經(jīng)過電場偏轉(zhuǎn)再經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)剛好到達(dá)A點(diǎn)，則初速度v₀多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子在電場中加速的末速度表達(dá)式，結(jié)合半徑公式和幾何關(guān)系求出y₁的大小，從而得出粒子剛開始釋放時的坐標(biāo)．
（2）要使粒子能從A點(diǎn)飛出磁場，到粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑R₂該滿足的條件R=n•2R₂，n=1，2，3．結(jié)合半徑公式、周期公式以及動能定理求出從釋放到A點(diǎn)所需要的時間．
（3）作出粒子運(yùn)動的軌跡，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出粒子飛出磁場的時間，求出粒子在電場中的水平位移和粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑，通過幾何關(guān)系求出初速度的大�。�

解答 解：（1）粒子在電場中加速，$qE{y}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，圓心在x軸上，$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
由幾何關(guān)系得，$\sqrt{2}{R}_{1}=R$，
解得${y}_{1}=\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4mE}$，
因此粒子剛開始釋放時的位置坐標(biāo)為$（R，\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4mE}）$．
（2）要使粒子能從A點(diǎn)飛出磁場，到粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑R₂該滿足的條件R=n•2R₂，n=1，2，3．
粒子在電場中加速$qE{y}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，圓心在x軸上，$q{v}_{2}B=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，
粒子在電場中運(yùn)動的時間${t}_{1}=（2n-1）\sqrt{\frac{2{y}_{2}m}{qE}}$，
在磁場中運(yùn)動的時間${t}_{2}=n\frac{πm}{qB}$，
因此運(yùn)動的總時間t=t₁+t₂=$（2n-1）\sqrt{\frac{2{y}_{2}m}{qE}}+n\frac{πm}{qB}$=$\frac{2n-1}{2n}\frac{BR}{E}+n\frac{πm}{qB}$，n=1，2，3．
（3）粒子從飛出到達(dá)磁場所用的時間
$t′=\sqrt{\frac{2{y}_{1}m}{qE}}=\frac{BR}{\sqrt{2}E}$，
在電場中的水平位移$x={v}_{0}t′=\frac{BR{v}_{0}}{\sqrt{2}E}$，
設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度為v，則粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑r=$\frac{mv}{qB}$，
根據(jù)幾何關(guān)系$\frac{{v}_{1}}{v}=\frac{2R-x}{2r}$
解得${v}_{0}=\frac{2（\sqrt{2}-1）E}{B}$．
答：（1）粒子剛開始釋放時的坐標(biāo)（x₁，y₁）為$（R，\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4mE}）$．
（2）要使粒子剛好從A點(diǎn)飛出磁場，則從釋放到A點(diǎn)所需要的時間為$\frac{2n-1}{2n}\frac{BR}{E}+n\frac{πm}{qB}$，n=1，2，3
（3）初速度v₀為$\frac{2（\sqrt{2}-1）E}{B}$．

點(diǎn)評 粒子在電場中運(yùn)動偏轉(zhuǎn)和加速時，常用能量的觀點(diǎn)來解決問題，有時也要運(yùn)用運(yùn)動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時間的確定也是本題的一個考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．