Question

14．如圖所示，在一對(duì)以板長(zhǎng)為2a、板間距離為$\frac{2}{3}$a的平行板圍成的矩形EFQP區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力）從靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從EF邊的中點(diǎn)小孔D處垂直于EF邊進(jìn)入磁場(chǎng)．
（1）若粒子的軌道半徑為$\frac{a}{2}$，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）若再次改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點(diǎn)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間．（不計(jì)粒子與ED板碰撞的作用時(shí)間．設(shè)粒子與ED板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈．）

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛侖茲力提供向心力，通過(guò)動(dòng)能定理即圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式即可求出B；
（2）通過(guò)對(duì)題目的分析作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得到其運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，通過(guò)周期公式及幾何關(guān)系即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r，經(jīng)過(guò)n次碰撞，即經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到E點(diǎn)，已知其運(yùn)動(dòng)的周期，就可以求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，就可以判斷時(shí)間與碰撞次數(shù)有無(wú)關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后獲得速度為v，由動(dòng)能定理有：qU=$\frac{1}{2}mv_{\;}$²-0
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{v^2}{{\frac{a}{2}}}$
解得：B=$\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（2）若粒子恰好未碰PQ板，其軌跡如圖所示，

由圖中的幾何關(guān)系有：r=$\frac{2a}{3}$ sinθ=$\frac{a-r}{r}=\frac{1}{2}$
故有：θ=30°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{{{{120}°}}}{{{{360}°}}}$T
T=$\frac{2πr}{v}$
解得：t=$\frac{4πa}{9}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
（3）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)后打到E點(diǎn)，其半徑為r₁，周期T₁，極限時(shí)間為t_m，有：2r₁•n=a
T₁=$\frac{{2π{r_1}}}{v}$
t_m=n$\frac{T_1}{2}$
解得：t_m=$\frac{πa}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
答：（1）若粒子的軌道半徑為a，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2}{a}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{4πa}{9}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（3）若再次改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點(diǎn)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πa}{2}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$

點(diǎn)評(píng) 該題是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)解題，還要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，難度較大．