Question

4．在2011年少年科技創(chuàng)新大賽中，某同學(xué)展示了其設(shè)計(jì)的自設(shè)程序控制的電動(dòng)賽車，賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定在豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，通過(guò)軌道最高點(diǎn)P后又進(jìn)入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到阻力恒為車重的0.5倍，即k=$\frac{{F}_{f}}{mg}$=0.5．賽車的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=2W工作，軌道AB的長(zhǎng)度L=2m．圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比賽，要求賽車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短．在此條件下，求：
（1）小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程；
（2）賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間．

Answer 1

分析 賽車在電動(dòng)機(jī)牽引力作用下從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)滑行，正好能在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短．因此利用車恰能通過(guò)軌道最高來(lái)求出進(jìn)入軌道C點(diǎn)的最小速度，從而由動(dòng)能定理來(lái)求出CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程，同時(shí)再由動(dòng)能定理來(lái)求出賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間．

解答 解：（1）要求賽車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短，則小車經(jīng)過(guò)圓軌道P點(diǎn)時(shí)速度最小，此時(shí)賽車對(duì)軌道的壓力為零，重力提供向心力：$mg=m\frac{v_P^2}{R}$
C點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律可得：$mg•2R+\frac{1}{2}mv_P^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：v_C=5m/s                          
設(shè)小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程為x，由動(dòng)能定理可得：$-kmgx=0-\frac{1}{2}mv_C^2$
代入數(shù)據(jù)可得：x=2.5m                                           
（2）由于豎直圓軌道光滑，由機(jī)械能守恒定律可知：v_B=v_C=5m/s      
從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理可得：$Pt-kmgL=\frac{1}{2}mv_B^2$
代入數(shù)據(jù)可得：t=4.5s．
答：（1）小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程是2.5m；
（2）賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間是4.5s．

點(diǎn)評(píng) 本題突破口是小車恰能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，就是小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程．同時(shí)對(duì)動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律理解．