Question

14．如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，在第Ⅱ象限內(nèi)有平行于桌面的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)方向與x軸負(fù)方向的夾角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板C₁、C₂，兩板間距為d₁=0.6m，板間有豎直向上的勻強(qiáng)磁場，兩板右端在y軸上，板C₁與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為L=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x軸放置一塊平行y軸且沿y軸負(fù)向足夠長的豎直平板C₃，平板C₃在x軸上垂足為Q，垂足Q與原點(diǎn)O相距d₂=0.18m．現(xiàn)將一帶負(fù)電的小球從桌面上的P點(diǎn)以初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s垂直于電場方向射出，剛好垂直于x軸穿過C₁板上的M孔，進(jìn)入磁場區(qū)域．已知小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P點(diǎn)與小孔M在垂直于電場方向上的距離為s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考慮空氣阻力．求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大��；
（2）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板C₃上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍；
（3）若t=0時(shí)刻小球從M點(diǎn)進(jìn)入磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度如乙圖隨時(shí)間呈周期性變化（取豎直向上為磁場正方向），求小球從M點(diǎn)到打在平板C₃上所用的時(shí)間．（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出經(jīng)過M點(diǎn)的速度，作出粒子在磁場中的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）根據(jù)半徑公式和周期公式求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，由磁場的周期得出小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系可明確對(duì)應(yīng)的各段的時(shí)間，從而求出總時(shí)間．

解答 解：（1）小球在第Ⅱ象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)有：
v₀t=s
at=v₀tanθ
由牛頓第二定律有：qE=ma
代入據(jù)解得：E=8$\sqrt{2}$m/s．
（2）設(shè)小球通過M點(diǎn)時(shí)的速度為v，
由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：v=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8m/s；．
小球垂直磁場方向進(jìn)入兩板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖1，
由牛頓第二定律有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：B=$\frac{mv}{qR}$
小球剛好能打到Q點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)設(shè)為B₁．此時(shí)小球的軌跡半徑為R₁
由幾何關(guān)系有：$\frac{{R}_{1}}{{l}_{1}+gxhlhmw_{2}-{R}_{1}}=\frac{{l}_{1}-{R}_{1}}{{R}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)解得：B₁=$\frac{2}{3}$T．
小球剛好不與C₂板相碰時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小設(shè)為B₂，此時(shí)粒子的軌跡半徑為R₂
由幾何關(guān)系有：R₂=d₁，
代入數(shù)據(jù)解得：B₂=1T；
綜合得磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍：$\frac{2T}{3}$≤B≤1T．
（3）小球進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R₃，周期為T；由周期公式可得：
R₃=$\frac{mv}{q{B}_{3}}$
解得：R₃=0.18m
T=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$
解得：T=$\frac{9π}{200}$s
由磁場周期T₀=$\frac{T}{3}$分析知小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2，一個(gè)磁場周期內(nèi)小球在x軸方向的位移為3r=0.54m  
L-3r=0.18m
即：小球剛好垂直y軸方向離開磁場
則在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=$\frac{T}{3}$+$\frac{T}{3}$+$\frac{T}{4}$=$\frac{33π}{800}$=0.13s
離開磁場到打在平板C₃上所用的時(shí)間t₂=$\frac{odmraip_{2}}{v}$=0.02s
小球從M點(diǎn)到打在平板C₃上所用總時(shí)間t=t₁+t₂=0.02+0.13=0.15s；
答：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為$2\sqrt{2}N/C$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為：$\frac{2T}{3}$≤B≤1T．
（3）小球從M點(diǎn)到打在平板C₃上所用總時(shí)間0.15s；

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和幾何關(guān)系列式求解；要注意明角物理過程．