Question

10．我國(guó)已成功發(fā)射了“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星，經(jīng)測(cè)量知該衛(wèi)星沿環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t，如果衛(wèi)星繞月球運(yùn)行近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，忽略星球的自轉(zhuǎn)影響，知道月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀．
（1）請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h；
（2）地球半徑是月球的半徑的4倍，地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的6倍，試求地球和月球的密度之比．（球體體積公式：V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力，結(jié)合衛(wèi)星的周期大小，求出衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出衛(wèi)星離地的高度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力得出星球的質(zhì)量，結(jié)合星球的體積得出密度的表達(dá)式，結(jié)合地球和月球的半徑之比、表面的重力加速度之比求出密度之比．

解答 解：（1）由題意知，“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星的周期為 T=$\frac{t}{n}$，
設(shè)衛(wèi)星離月球表面的高度為h，由萬有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}=m（{R}_{0}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
月球表面質(zhì)量為m₁的物體受到的重力等于月球的引力，
$G\frac{M{m}_{1}}{{{R}_{0}}^{2}}={m}_{1}{g}_{0}$，
解得h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-{R}_{0}$．
（2）質(zhì)量為m₂的物體，在地球和月球表面受到的重力等于各中心天體的引力
$G\frac{M{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$，
M=ρV，
又V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$，
解得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$，
可知$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}=\frac{\frac{3{g}_{地}}{4πG{R}_{地}}}{\frac{3{g}_{月}}{4πG{R}_{月}}}=\frac{{g}_{地}{R}_{月}}{{g}_{月}{R}_{地}}$，
代入數(shù)據(jù)，$\frac{{R}_{月}}{{R}_{地}}=\frac{1}{4}$，$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}=6$，
解得：$\frac{{ρ}_{地}}{{ρ}_{月}}=\frac{3}{2}$．
答：（1）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-{R}_{0}$．
（2）地球和月球的密度之比為3：2．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．