Question

2．如圖，右側(cè)是一個(gè)固定斜面，斜面足夠長(zhǎng)，傾角θ=30°，左側(cè)是一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為球心，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩跨在碗口及斜面頂端的定滑輪上，繩的兩端分別系有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，質(zhì)量分別為m₁和m₂．開(kāi)始時(shí)m₁恰在碗口水平直徑的右端A處，m₂在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時(shí)連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直．當(dāng)m₁由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到圓心O的正下方B點(diǎn)的速度恰好為零，不計(jì)一切摩擦．
（1）求：兩小球質(zhì)量之比；
（2）若兩球質(zhì)量之比m₁：m₂=$\sqrt{2}$：1，仍將小球m₁自A點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)下滑到B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩恰好斷開(kāi)，求：細(xì)繩斷開(kāi)后，小球m₁能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系寫(xiě)出小球m₂沿斜面上升的最大距離的表達(dá)式，對(duì)m₁、m₂系統(tǒng)由機(jī)械能守恒列出方程，聯(lián)立即可求出；
（2）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成與分解求出小球m₁到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)m₁、m₂速度關(guān)系，對(duì)m₁、m₂系統(tǒng)由功能關(guān)系列出方程，細(xì)繩斷后m₂沿斜面上升，對(duì)m₂由機(jī)械能守恒定律列出方程，根據(jù)幾何關(guān)系寫(xiě)出小球m₂沿斜面上升的最大距離的表達(dá)式，聯(lián)立方程即可求解；

解答 解：（1）設(shè)重力加速度為g，當(dāng)m₁下降到最低點(diǎn)時(shí)，m₁下降的高度是R，而m₂上升的高度：h=$\sqrt{2Rsinθ}$
由機(jī)械能守恒得：m₁gR-m₂gh=0
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）小球m₁到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)m₁、m₂速度大小分別為v₁、v₂，
由運(yùn)動(dòng)合成與分解得${v_1}=\sqrt{2}{v_2}$
對(duì)m₁、m₂系統(tǒng)由功能關(guān)系得
${m_1}gR-{m_2}gh=\frac{1}{2}{m_1}{v_1}^2+\frac{1}{2}{m_2}{v_2}^2$
又：m₁：m₂=$\sqrt{2}$：1，
設(shè)細(xì)繩斷后m₂沿斜面上升的距離為s′，對(duì)m₂由機(jī)械能守恒定律得${m}_{2}gH=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
小球m₂沿斜面上升的最大高度：H=$\frac{4-\sqrt{2}}{7}R$
答：（1）兩小球質(zhì)量之比是$\sqrt{2}$：2；
（2）細(xì)繩斷開(kāi)后，小球m₁能上升的最大高度是$\frac{4-\sqrt{2}}{7}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律，解答的關(guān)鍵是關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)合成分解知識(shí)判斷兩個(gè)小球的速度大小關(guān)系，同時(shí)考查學(xué)生綜合分析理解及運(yùn)算能力，難度適中．