Question

12．如圖甲所示，長、寬分別為L₁=0.1m、L₂=0.2m的矩形金屬線框位于豎直平面內(nèi)，其匝數(shù)為100匝，總電阻為1Ω，可繞其豎直中心軸O₁O₂轉(zhuǎn)動．線框的兩個末端分別與兩個彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過電刷和定值電阻R=9Ω相連．線框所在空間有水平向右均勻分布的磁場，磁感應(yīng)強度B的大小隨時間t的變化關(guān)系如圖乙所示，其中B₀=5×10^-3T、B₁=1×10^-2T和t₁=2×10^-3S．在0～t₁的時間內(nèi)，線框保持靜止，且線框平面和磁場垂直；t₁時刻后線框在外力的驅(qū)動下開始繞其豎直中心軸以角速度ω=200rad/s勻速轉(zhuǎn)動．求：
（1）0～t₁時間內(nèi)通過電阻R的電流大小；
（2）線框勻速轉(zhuǎn)動后，在轉(zhuǎn)動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量；
（3）線框勻速轉(zhuǎn)動后，從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，通過電阻R的電荷量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出0～t₁時間內(nèi)感應(yīng)電動勢，再根據(jù)閉合電路歐姆定律求出通過電阻R的電流大小．
（2）根據(jù)E=nBSω求出感應(yīng)電動勢的最大值，從而求出感應(yīng)電動勢的有效值，根據(jù)歐姆定律求出感應(yīng)電流的有效值，從而根據(jù)Q=I²Rt求出電阻R產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合閉合電路歐姆定律求出平均感應(yīng)電流，根據(jù)q=$\overline{I}$t求出通過電阻R的電荷量．

解答 解：（1）0～t₁時間內(nèi)，線框中的感應(yīng)電動勢為：
E=n$\frac{△∅}{△t}=\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{{t}_{1}}$．
根據(jù)閉合電路歐姆定律得，通過電阻R的電流為：
I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{n{L}_{1}{L}_{2}（{B}_{1}-{B}_{0}）}{（R+r）{t}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)解得：I=0.5A；
（2）線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的最大值為：E_m=nB₁L₁L₂ω
感應(yīng)電動勢的有效值為：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$nB₁L₁L₂ω
通過電阻R的電流有效值為：I=$\frac{\sqrt{2}n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}ω}{2（R+r）}$
線框轉(zhuǎn)動一周所需的時間為：t=$\frac{2π}{ω}$．
此過程中，電阻R產(chǎn)生的熱量為：
Q=I²Rt=πRω（$\frac{n{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$）²
解得：Q=0.0226J；
（3）線框從圖甲所示位置轉(zhuǎn)過90°的過程中，平均感應(yīng)電動勢為：$\overline{E}$=n$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{△t}$
平均感應(yīng)電流為：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
流過電阻R的電荷量為：
q=$\overline{I}•△t$=$\frac{n{B}_{1}{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}$．
解得電荷量為：q=2×10^-3 C
答：（1）0～t₁時間內(nèi)通過電阻R的電流大小為0.5A；
（2）線框勻速轉(zhuǎn)動后，在轉(zhuǎn)動一周的過程中電流通過電阻R產(chǎn)生的熱量為0.0226J；
（3）通過電阻R的電荷量為2×10^-3C．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握感應(yīng)電動勢的平均值、最大值、有效值和瞬時值的區(qū)別以及應(yīng)用．明確在求解功率及電壓值等要用有效值，求解電荷量用平均值．