Question

13．在光滑水平面上，有一質(zhì)量M₁=10kg的小車通過一根不可伸長的輕繩與另一質(zhì)量M₂=15kg的拖車相連接，一質(zhì)量M₃=5kg的物體放在拖車的平板上，物體與拖車平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2．開始時(shí)，拖車靜止，繩未被拉緊，如圖所示，開始時(shí)小車以v₀=3m/s的速度勻速前進(jìn)時(shí)，求物體在拖車平板上移動(dòng)的距離s．（設(shè)平板足夠長，g取10m/s²）

Answer 1

分析 將小車、拖車和物體三個(gè)物體看成一系統(tǒng)，在水平方向上動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出三者一起運(yùn)動(dòng)的速度大小．
輕繩從伸直到拉緊的時(shí)間極短，在此過程中，小車與拖車在水平方向上動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒求出小車和拖車的共同速度，然后物體在拖車上發(fā)生相對滑動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出拖車和小車整體與物體的位移，從而求出它們的相對位移．

解答 解：選取向右為正方向，由小車、拖車和物體三者水平方向動(dòng)量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）u，
得三者一起運(yùn)動(dòng)的速度大小為：$u=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25+15}×3$=1m/s．
小車向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，輕繩將逐漸伸直．因?yàn)檩p繩從伸直到拉緊的時(shí)間極短，在這極短時(shí)間內(nèi)繩中產(chǎn)生的張力遠(yuǎn)大于物體對拖車的摩擦力，可以認(rèn)為僅是小車與拖車間發(fā)生了相互作用．對小車與拖車由水平方向動(dòng)量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂）v₁₂，
得繩剛拉緊時(shí)兩者的共同速度為：
${v}_{12}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25}×3=\frac{4}{3}m/s$


此后，由于物體和拖車間形成了相對速度，拖車對物體產(chǎn)生摩擦力f（f=μm₃g），使物體向前（與v₁₂同向）作加速運(yùn)動(dòng)，物體對拖車的摩擦力f′（f′=f）使拖車（包括小車）作減速運(yùn)動(dòng)，直至物體和拖車（包括小車）以共同速度u運(yùn)動(dòng)．在這個(gè)過程中，設(shè)拖車（包括小車）對地面的位移為s₂，物體對地面的位移為s3，對拖車位移為d，如圖所示．根據(jù)動(dòng)能定理，對拖車和小車：
$-f′{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{u}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{12}}^{2}$
即：$μ{m}_{3}g{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）$
對物體有：$f{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
即：$μ{m}_{3}g{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
由此解得拖車和物體的位移分別為：
${s}_{2}=\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）}{2μ{m}_{3}g}$=$\frac{（20+25）（\frac{16}{9}-1）}{2×0.20×15×10}m=\frac{7}{12}m$．
${s}_{3}=\frac{{u}^{2}}{2μg}=\frac{1}{2×0.20×10}m=\frac{1}{4}m$．
所以，物體在拖車平板上移動(dòng)的距離為：d=${s}_{2}-{s}_{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}m=\frac{1}{3}m≈0.33m$．
答：物體在拖車平板上移動(dòng)的距離為0.33m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，關(guān)鍵要合理地選擇研究的系統(tǒng)，研究的過程，運(yùn)用合適的定律進(jìn)行求解．