Question

9．圖示為半徑為R的四分之三圓周CED，O為圓心，A為CD的中點(diǎn)，在OCEDO內(nèi)充滿垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一群相同的帶正電粒子以相同的速率從AC部分垂直于AC射向磁場(chǎng)區(qū)域，沿半徑OD放置一粒子吸收板，所有射在板上的粒子均被完全吸收．已知粒子的質(zhì)量為m，電量為q，速率v=$\frac{qBR}{2m}$，假設(shè)粒子不會(huì)相遇，忽略粒子間的相互作用，不考慮粒子的重力．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短和最長(zhǎng)時(shí)間；
（3）吸收板上有粒子擊中的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求解粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑；
（2）由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子運(yùn)動(dòng)的周期，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短和最長(zhǎng)時(shí)間；
（3）軌跡圓圓心的軌跡一定在與OC平行的線上，如圖中O₁、O₂、O₃線上，其中O₁在AC上，O₂在OA上，O₃在板OD上．①圓心在O₁到O₂間時(shí)，粒子打在板OD的左面，由幾何關(guān)系求吸收板上有粒子擊中的長(zhǎng)度．②圓心在O₂到O₃間時(shí)，粒子打在板OD的右面，再由幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓第二定律得：
   qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
代入v=$\frac{qBR}{2m}$，得 r=$\frac{R}{2}$
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則有
    T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
如圖所示，部分粒子從OC邊射入磁場(chǎng)，又從OC邊射出磁場(chǎng)
由對(duì)稱性可知，粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為90°，

最短時(shí)間 t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$
沿AO入射的粒子，與磁場(chǎng)圓在最低點(diǎn)內(nèi)切，
圓心角為270°，如圖所示
最長(zhǎng)時(shí)間 t₂=$\frac{3T}{4}$=$\frac{3πm}{2qB}$
（3）軌跡圓圓心的軌跡一定在與OC平行的線上，如圖中O₁、O₂、O₃線上，
其中O₁在AC上，O₂在OA上，O₃在板OD上
①圓心在O₁到O₂間時(shí)，粒子打在板OD的左面，有圖中幾何關(guān)系得，
左表面的長(zhǎng)度范圍為 L₁=R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$R
②圓心在O₂到O₃間時(shí)，粒子打在板OD的右面，有圖中幾何關(guān)系得
右表面的長(zhǎng)度范圍為EF段，長(zhǎng)度為 L₂=$\frac{R}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$R=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$R
綜上，有粒子擊中的長(zhǎng)度為 L=L₁+L₂=$\frac{3}{2}$R-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$R=$\frac{6-3\sqrt{2}}{4}$R

答：
（1）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑是$\frac{R}{2}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短和最長(zhǎng)時(shí)間分別為$\frac{πm}{2qB}$和$\frac{3πm}{2qB}$；
（3）吸收板上有粒子擊中的長(zhǎng)度是$\frac{6-3\sqrt{2}}{4}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題在粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑是關(guān)鍵，要注意分析時(shí)間與周期的關(guān)系．