Question

4．一足夠長豎直放置的圓柱形氣缸內(nèi)，有一輕質(zhì)活塞封閉著一定量的理想氣體，氣缸壁導(dǎo)熱良好，活塞可以沿氣缸內(nèi)壁做無摩擦的滑動，同時有一彈簧兩端分別與活塞下表面和氣缸底部連接，彈簧勁度系數(shù)為k．開始時封閉氣體的壓強(qiáng)為P，活塞與氣缸底部的高度為h，彈簧剛好處于原長，外界溫度為T₀，當(dāng)外界溫度升高到某一溫度時，活塞上升了h的距離后達(dá)到平衡．然后再往活塞上表面緩慢增加質(zhì)量為m的沙子，活塞下降了$\frac{h}{2}$，求最后達(dá)到平衡后理想氣體壓強(qiáng)為多少？溫度T為多少？已知外界大氣的壓強(qiáng)始終保持不變，重力加速度為g．

Answer 1

分析 氣體先發(fā)生等壓變化，然后再發(fā)生等溫變化，以活塞為研究對象，分別求出氣體的壓強(qiáng)，然后由玻意耳定律與蓋呂薩克定律求出氣體的溫度和壓強(qiáng)．

解答 解：以活塞為研究對象，開始時兩側(cè)平衡，則氣體的壓強(qiáng)與外界大氣壓是相等的；
設(shè)活塞的橫截面積為S，往活塞上表面緩慢增加質(zhì)量為m的沙子后，活塞相對于開始時的位置升高了$\frac{h}{2}$，此時的壓強(qiáng)P₁：
${P}_{1}S=PS+mg+\frac{1}{2}kh$
所以：${P}_{1}=P+\frac{mg+\frac{1}{2}kh}{S}$…①
根據(jù)理想氣體的狀態(tài)方程：
$\frac{Ph•S}{{T}_{0}}=\frac{{P}_{1}（h+\frac{1}{2}h）S}{T}$
聯(lián)立得：T=$1.5{T}_{0}+\frac{1.5{T}_{0}（mg+0.5kh）}{PS}$…②
又由于外界溫度升高到某一溫度時，活塞上升了h的距離后達(dá)到平衡，設(shè)此時的壓強(qiáng)為P₂，則：
${P}_{2}=P+\frac{kh}{S}$
$\frac{Ph•S}{{T}_{0}}=\frac{{P}_{2}（h+h）S}{T}$
聯(lián)立得：$T=2{T}_{0}+\frac{2{T}_{0}•kh}{PS}$…③
聯(lián)立②③得：S=$\frac{3mg-2.5kh}{P}$…④
聯(lián)立得：${P}_{1}=P（\frac{4mg+3kh}{3mg+2.5kh}）$；
T=$\frac{6{T}_{0}（2mg-kh）}{6mg-5kh}$
答：最后達(dá)到平衡后理想氣體壓強(qiáng)為$P（\frac{4mg+3kh}{3mg+2.5kh}）$；溫度T為$\frac{6{T}_{0}（2mg-kh）}{6mg-5kh}$．

點評 本題是力學(xué)與熱學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程與玻意耳定律、共點力平衡即可正確解題，解題時要注意研究對象的選擇．