Question

11．空氣中的顆粒物對(duì)人體健康有重要影響．有人利用除塵器對(duì)空氣除塵，除塵器主要由過濾器、離子發(fā)生器（使顆粒物帶電）、集塵器組成．如圖所示為集塵器的截面 圖，間距為d的上、下兩板與直流電源相連，CD為勻強(qiáng)磁場(chǎng)的左邊界，磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里．質(zhì)量均為m、帶相等電荷量分布均勻的顆粒物，以水平速度v₀進(jìn)入集塵器，調(diào)節(jié)電源電壓至U，顆粒物在電場(chǎng)區(qū)域恰能沿水平向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入電場(chǎng)、磁場(chǎng)共存區(qū)域后顆粒物偏轉(zhuǎn)碰到下板后其電量消失，同時(shí)被收集，設(shè)重力加速度為g，不計(jì)顆粒物之間的相互作用．
（1）判斷顆粒物所帶電荷的種類，并求其電荷量q；
（2）從C點(diǎn)靠近上板下表面的顆粒物進(jìn)人電場(chǎng)、磁場(chǎng)共存區(qū)域后，最終垂直打在下板的M點(diǎn)．求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小；
 （3）若收集點(diǎn)塒向左移動(dòng)至N點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），且滿足∠DCN=30°，調(diào)整磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小至B，可以使從C點(diǎn)靠近上板下表面的顆粒物，匯集于N點(diǎn)，再改變磁場(chǎng)區(qū)域形狀大小，可以使所有顆粒物都能匯集于N點(diǎn)便于收集，假設(shè)C點(diǎn)是該區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)，求此區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小和勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析 （1）顆粒物在復(fù)合場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力等于電場(chǎng)力，寫出平衡方程，即可判斷出顆粒物的電性，并求出電量；
（2）顆粒垂直進(jìn)入電、磁場(chǎng)共存的區(qū)域，重力仍然與電場(chǎng)力平衡，合力等于洛倫茲力，顆粒物做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，寫出動(dòng)力學(xué)方程；結(jié)合軌跡中的幾何關(guān)系即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）確定顆粒物運(yùn)動(dòng)的圓心，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何關(guān)系求出半徑與d的關(guān)系，然后結(jié)合洛倫茲力提供向心力，即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）顆粒在電場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：q$\frac{U}nhn7fnt$=mg，解得：q=$\frac{mgd}{U}$，
由于電場(chǎng)的方向向下，電荷受到的電場(chǎng)力方向向上，可知顆粒帶負(fù)電；
（2）顆粒垂直進(jìn)入電、磁場(chǎng)共存的區(qū)域，重力仍然與電場(chǎng)力平衡，合力等于洛倫茲力，顆粒物做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，
由幾何關(guān)系可知顆粒物在該區(qū)域恰好完成$\frac{1}{4}$圓周運(yùn)動(dòng)，則半徑：R₁=d，
解得：B₁=$\frac{{v}_{0}U}{gr7v9n7j^{2}}$；
（3）確定圓心O₁如圖，由幾何關(guān)系可得：
R₂+R₂sin30°=d

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R₂=$\frac{2}{3}$d，
由牛頓第二定律得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{3{v}_{0}U}{2gjndj9vr^{2}}$，
由上式?jīng)Q定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向，可知從C點(diǎn)射入的粒子在N點(diǎn)射出的軌跡是所求磁場(chǎng)的一個(gè)邊界．
為確定另一個(gè)邊界，我們采用逆向思維的方法，做出從N點(diǎn)射出的與下極板之間的夾角是θ的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2，
則該磁場(chǎng)的左側(cè)的邊界也是一段圓弧，與過C到達(dá)N點(diǎn)的圓環(huán)具有對(duì)稱性：
所求勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積如圖中兩個(gè)邊界之間的部分，
為：S=2（$\frac{1}{3}$πR₂²-$\frac{\sqrt{3}{R}_{2}^{2}}{4}$）=$\frac{（8π-6\sqrt{3}）777jptx^{2}}{27}$．
答：（1）顆粒物帶負(fù)電荷，其電荷量q為$\frac{mgd}{U}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{{v}_{0}U}{g9bb7dzt^{2}}$；
 （3）此區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小為$\frac{3{v}_{0}U}{2glvzr7jp^{2}}$，勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S為$\frac{（8π-6\sqrt{3}）nnd7jxh^{2}}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，該題中判斷出重力與電場(chǎng)力大小相等，方向相反，在存在磁場(chǎng)的區(qū)域中，顆粒物受到的合力等于洛倫茲力，并由洛倫茲力提供向心力，是解題的關(guān)鍵，常規(guī)題目，要注意按照規(guī)范化的解題步驟解題．