Question

2．人們常常把原子核和它周圍的電子比做太陽系或地球和人造衛(wèi)星．以地球和人造衛(wèi)星為例，假如我們發(fā)射一顆衛(wèi)星，使它在一定的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，如果需要可以使這些衛(wèi)星的能量稍大一些，或者在半徑更大一些的軌道上運(yùn)動(dòng)．只要技術(shù)條件達(dá)到，軌道半徑可以按照需要任意取值．在這種情況下，我們說，軌道半徑是連續(xù)的．
并非把這個(gè)圖景縮小就可以看做原子核和它周圍電子的運(yùn)動(dòng)．在波爾模型中，以氫原子為例，原子中的電子在庫侖力的作用下，繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，電子的軌道半徑只能取某些分立的數(shù)值，必須滿足mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…，其中m、v_n、r_n、h分別為電子的質(zhì)量、電子繞核運(yùn)動(dòng)的速度、電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑、普朗克常數(shù)，近似認(rèn)為原子核靜止．當(dāng)電子在不同的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，原子處于不同的穩(wěn)定狀態(tài)，在這些穩(wěn)定狀態(tài)中，原子的能量是不同的．所謂原子的能量是指電子的動(dòng)能和體系的勢能之和，取無窮遠(yuǎn)處為零勢能面，體系在軌道半徑r_n上具有的勢能為-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$，k為靜電力常數(shù)．這些量子化的能量值叫做能級(jí)．
（1）根據(jù)以上信息和所學(xué)知識(shí)，求解：
①氫原子的第n（n=1，2，3…）軌道半徑r_n的表達(dá)式；
②氫原子的第n（n=1，2，3…）能級(jí)E_n的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意和（1）的結(jié)論求解：
①電子從n+1軌道躍遷到n軌道放出的光子的頻率v_n的表達(dá)式；
②由以上表達(dá)式證明：當(dāng)n→∞時(shí)該頻率等于電子在第n軌道上繞核運(yùn)動(dòng)的頻率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)庫侖引力提供向心力得出電子的動(dòng)能，結(jié)合玻爾的量子化條件求出軌道半徑r_n的表達(dá)式；結(jié)合氫原子的能級(jí)能量等于動(dòng)能和勢能之和求出E_n的表達(dá)式；
（2）根據(jù)能級(jí)躍遷時(shí)，輻射的光子能量等于兩能級(jí)間的能級(jí)差，結(jié)合能量的表達(dá)式求出光子的頻率的表達(dá)式；
通過頻率等于周期的倒數(shù)，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)極限思維得出頻率的表達(dá)式，從而進(jìn)行證明．

解答 解：（1）①對(duì)于氫原子，庫侖力提供電子繞核運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得
$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
根據(jù)玻爾的量子化條件
mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…，
聯(lián)立以上兩式解得${v}_{n}=\frac{2πk{e}^{2}}{nh}$，${r}_{n}=\frac{m{h}^{2}}{4{π}^{2}{m}^{2}k{e}^{2}}{n}^{2}$，n=1，2，3…
②選取無窮遠(yuǎn)處為零勢能面，則得
${E}_{n}=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-k\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$，
將v_n、r_n的表達(dá)式代入，整理得
${E}_{n}=-\frac{2{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{n}^{2}{h}^{2}}$，n=1，2，3…
（2）①根據(jù)玻爾理論，當(dāng)原子從較高能量狀態(tài)E_n+1向較低能量狀態(tài)E_n躍遷時(shí)，發(fā)射一個(gè)光子，其頻率為
hγ_n=E_n+1-E_n，
所以${γ}_{n}=\frac{{E}_{n+1}-{E}_{n}}{h}$，
將E_n+1、E_n的表達(dá)式代入，整理得${γ}_{n}=\frac{2{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}（2n+1）}{{h}^{3}{n}^{2}（n+1）^{2}}$．
②根據(jù)以上表達(dá)式，當(dāng)n→∞時(shí)，2n+1→2n，n+1→n，γ_n的表達(dá)式為
${γ}_{n}=\frac{4{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{3}{n}^{3}}$
電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為
${f}_{n}=\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{\frac{2π{r}_{n}}{{v}_{n}}}=\frac{{v}_{n}}{2π{r}_{n}}$，
將r_n的表達(dá)式代入，整理得
${f}_{n}=\frac{4{π}^{2}{k}^{2}m{e}^{4}}{{h}^{3}}•\frac{1}{{n}^{3}}={γ}_{n}$．
答：（1）①氫原子的第n（n=1，2，3…）軌道半徑r_n的表達(dá)式為${r}_{n}=\frac{m{h}^{2}}{4{π}^{2}{m}^{2}k{e}^{2}}{n}^{2}$，n=1，2，3…；
②氫原子的第n（n=1，2，3…）能級(jí)E_n的表達(dá)式為${E}_{n}=-\frac{2{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{n}^{2}{h}^{2}}$，n=1，2，3…．
（2）①電子從n+1軌道躍遷到n軌道放出的光子的頻率γ_n的表達(dá)式為${γ}_{n}=\frac{4{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{3}{n}^{3}}$，n=1，2，3…；
②證明如上所示．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地建立物理模型，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，知道原子的能量等于電子的動(dòng)能和原子勢能之和，知道能級(jí)躍遷時(shí)，輻射的光子能量等于兩能級(jí)間的能級(jí)差．