Question

7．神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示，引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T，可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，則（　　）

• A． m′與m₁、m₂的關(guān)系為m′=$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$
• B． m′與m₁、m₂的關(guān)系為m′=$\frac{{m}_{1}{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$
• C． 暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系為$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
• D． 暗星B的質(zhì)量m₂與可見星A的速率v、周期m₁之間的關(guān)系為$\frac{{m}_{1}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)構(gòu)成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬有引力提供各自的向心力．由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運(yùn)用牛頓第二定律分別對(duì)兩星球研究，并通過數(shù)學(xué)變形即可求解．

解答 解：AB、由${m}_{1}^{\;}{{ω}_{\;}^{2}r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$可得：$\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}$，由$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=G\frac{{m}_{1}^{\;}m′}{{r}_{1}^{2}}$可得：$\frac{m′}{{m}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{2}}{（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}$，因此$m′={m}_{2}^{\;}\frac{{r}_{1}^{2}}{（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}$，故A正確，B錯(cuò)誤．
CD、由$G\frac{{m}_{1}^{\;}m′}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$，可得$m′=\frac{{r}_{1}^{\;}{v}_{\;}^{2}}{G}$，$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=\frac{{v}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}}{G}=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$，故C正確，D錯(cuò)誤
故選：AC

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于天體運(yùn)動(dòng)問題關(guān)鍵要建立物理模型．要注意雙星問題與人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)模型不同，雙星都繞著它們之間連線上的一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，雙星、圓心始終“三點(diǎn)”一線．