Question

12．電流是國際單位制中七個基本物理量之一，也是電學(xué)中常用的概念．金屬導(dǎo)體導(dǎo)電是由于金屬導(dǎo)體內(nèi)部存在大量的可以自由移動的自由電子，這些自由電子定向移動形成電流．
（1）電子繞核運動可等效為一環(huán)形電流．設(shè)處于基態(tài)氫原子的電子繞核運動的半徑為R，電子質(zhì)量為m，電量為e，靜電力常量為k，求此環(huán)形電流的大小．
（2）一段橫截面積為S、長為l的金屬導(dǎo)線，單位體積內(nèi)有n個自由電子，電子電量為e．自由電子定向移動的平均速率為v．
a．求導(dǎo)線中的電流；
b．按照經(jīng)典理論，電子在金屬中運動的情形是這樣的：在外加電場（可通過加電壓實現(xiàn)）的作用下，自由電子發(fā)生定向運動，便產(chǎn)生了電流．電子在運動的過程中要不斷地與金屬離子發(fā)生碰撞，將動能交給金屬離子（微觀上使其熱運動更加劇烈，宏觀上產(chǎn)生了焦耳熱），而自己的動能降為零，然后在電場的作用下重新開始加速運動（為簡化問題，我們假定：電子沿電流方向做勻加速直線運動），經(jīng)加速運動一段距離后，再與金屬離子發(fā)生碰撞．電子在兩次碰撞之間走的平均距離叫自由程，用L表示．請從宏觀和微觀相聯(lián)系的角度，結(jié)合能量轉(zhuǎn)化的相關(guān)規(guī)律，求金屬導(dǎo)體的電阻率．

Answer 1

分析 （1）電子在庫侖力作用下做勻速圓周運動，根據(jù)運動規(guī)律可求得周期，再根據(jù)電流的定義可求得等效電流；
（2）a、根據(jù)電流形成的微觀意義可明確其對應(yīng)的微觀表達(dá)式；
b、根據(jù)題意進(jìn)行分析，明確電流的微觀表達(dá)式，再根據(jù)電阻定律進(jìn)行分析，即可求得電阻率．

解答 解：（1）電子繞原子核做勻速圓周運動，有：
$\frac{k{e}^{2}}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
周期為：T=$\frac{2πR}{v}$
解得：T=$\frac{2π}{e}\sqrt{\frac{m{R}^{3}}{k}}$
電子繞原子核運動的等效電流為：I=$\frac{e}{T}$=$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{R}^{3}}}$；
（2）a．導(dǎo)體中電流大小為：I=$\frac{q}{t}$ 
t時間內(nèi)電子運動的距離長度為vt，則其體積為svt，通過導(dǎo)體某一截面的自由電子數(shù)為nSvt，該時間內(nèi)通過導(dǎo)體該截面的電量：
q=nSvte
所以得：I=nesv
b．導(dǎo)體中電流強度的微觀表達(dá)式為：I=nesv
自由程L段內(nèi)根據(jù)電阻定律：R=$\frac{ρL}{s}$
根據(jù)歐姆定律：R=$\frac{U}{I}$
自由程內(nèi)，電子在電場作用下，速度從0增加到v'； 由動能定理：eU=$\frac{1}{2}$mv'²
又由于v=$\frac{v′}{2}$，
可得出電阻率ρ的表達(dá)式為：ρ=$\frac{2mv}{n{e}^{2}L}$
答：（1）此環(huán)形電流的大小為$\frac{{e}^{2}}{2π}\sqrt{\frac{k}{m{R}^{3}}}$；
（2）a、導(dǎo)線中的電流為nesv
b、電阻率ρ的表達(dá)式為ρ=$\frac{2mv}{n{e}^{2}L}$

點評 本題考查電流的微觀表達(dá)式及電流定律的應(yīng)用，在解題時要注意明確題意，從題干中找出有用的信息，在建立我們常見的物理模型，即可根據(jù)物理規(guī)律分析求解．