Question

7．一彈簧豎直固定在地面上．上面連接一質(zhì)量為1kg的物體A，A處于靜止狀態(tài)，此時彈簧被壓縮了0.15m．質(zhì)量也為1kg的物體B從A正上方h=0.3m處自由下落．碰后A，B結(jié)合在一起向下運動，已知重力加速度g=10m/s²，該彈簧形變量為x時的彈性勢能為E_p=$\frac{1}{2}$kx²．其中k為彈簧的勁度系數(shù)．求：
（1）碰后瞬間兩物體的總動能；
（2）碰后A、B的最大動能．

Answer 1

分析 （1）由自由落體運動速度位移公式或機械能守恒定律求出B與A碰撞前的速度．兩物體碰撞過程遵守動量守恒，由動量守恒定律求出碰撞后兩物體的速度，再求碰后瞬間兩物體的總動能．
（2）碰后A、B一起向下運動，彈簧的彈力不斷增大，當彈力與AB的總重力大小相等時，動能最大．由機械能守恒定律可以求出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）A、B的質(zhì)量相等，設為m．
物體B自由下落時，由機械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.3}$=$\sqrt{6}$m/s；
碰撞過程A、B的動量守恒，以向下為正方向，由動量守恒定律得：
  mv₀=（m+m）v
代入數(shù)據(jù)解得：v=$\frac{\sqrt{6}}{2}$m/s；
碰后A、B的總動能：E_K=$\frac{1}{2}$（m+m）v²
代入數(shù)據(jù)解得：E_K=1.5J；
（2）A處于靜止狀態(tài)時，由胡克定律得 mg=kx₁，得 k=$\frac{mg}{{x}_{1}}$=$\frac{10}{0.15}$=$\frac{200}{3}$N/m
碰后A、B一起向下運動，彈簧的彈力不斷增大，當彈力與AB的總重力大小相等時，動能最大．設此時彈簧的壓縮量為x₂．
則有 2mg=kx₂；
可得 x₂=2x₁=0.3m
從碰后到動能最大的過程中A、B下降的高度為 h′=x₂-x₁=0.15m
根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒得：
  2mgh′=E_Km+（$\frac{1}{2}k{x}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$）
解得碰后A、B的最大動能 E_Km=0.75J；
答：
（1）碰后瞬間兩物體的總動能是1.5J；
（2）碰后A、B的最大動能是0.75J．

點評 本題要分析清楚物體運動過程，抓住每個狀態(tài)和過程的物理規(guī)律是關鍵，要明確碰撞過程，由于外力遠小于內(nèi)力，系統(tǒng)的動量守恒．應用機械能守恒定律、動量守恒定律、胡克定律即可正確解題．