Question

12．如圖所示，在xoy平面第一象限的整個(gè)區(qū)域分布碰上勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向平行于y軸向下，在第四象限內(nèi)存在有界（含邊界）勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左邊界為y軸，右邊界為x=$\frac{5}{2}$l的直線，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，一質(zhì)量為m、電荷量為q、可看作質(zhì)點(diǎn)的帶正電粒子，從y軸上P點(diǎn)以初速度v₀垂直于y軸射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)力作用下從x軸上Q點(diǎn)以與x軸正方向成45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知OQ=l，不計(jì)粒子重力，求：
（1）OP間的距離．
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．（結(jié)果用m、q、l、v₀表示）

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已經(jīng)知道在Q點(diǎn)時(shí)的速度方向?yàn)?5°，可知此時(shí)沿兩個(gè)坐標(biāo)軸的速度都是v₀，在x軸和y軸分別列式，可求出OP的距離，求出OP間的距離．
（2）對(duì)粒子在第四象限中的運(yùn)動(dòng)軌道進(jìn)行分析，找到臨界狀態(tài)，即軌道恰好與y軸相切為軌道的最大半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，從而可表示出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）首先要分析粒子恰能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的軌跡，畫(huà)出軌跡圖，結(jié)合軌跡圖可求出CQ之間的距離，由幾何關(guān)系再求出在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌道的半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，從而可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)y方向的速度為v_y，則v_y=v₀tan45°
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
OQ=l=v₀t，
OP=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
由以上各式，解得OP=$\frac{1}{2}$l；
（2）粒子剛好能再進(jìn)入電場(chǎng)的軌跡如圖所示，設(shè)此時(shí)的軌跡半徑為r₁，則
r₁+r₁sin45°=l，
解得：r₁=（2-$\sqrt{2}$）l，
令粒子在磁場(chǎng)中的速度為v，則v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$
根據(jù)牛頓第二定律qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：B₁=$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$，
要使粒子能再進(jìn)入電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍 B≥B₁=$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$；
（3）假設(shè)粒子剛好從x=$\frac{5}{2}$l處磁場(chǎng)邊界與電場(chǎng)的交界D處第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，
設(shè)粒子從P到Q的時(shí)間為t，則由粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性可知粒子從第一次出磁場(chǎng)的C點(diǎn)到D的時(shí)間為2t，
由水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)可得：CD=2d，
CQ=CD-QD=2d-（2.5d-d）=$\frac{1}{2}$l，
設(shè)此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為r₂，由幾何關(guān)系知：
2r₂sin45°=CQ，
解得：r₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l，
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$，
要使粒子能第二次進(jìn)磁場(chǎng)，粒子必須先進(jìn)入電場(chǎng)，故磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足：B≤B₂=$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$，
綜上所述要使粒子能第二次進(jìn)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足：$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$≤B≤$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$；            
答：（1）OP間的距離為$\frac{1}{2}$l．
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍是B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$；．
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍是$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$≤B≤$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，綜合了靜電場(chǎng)和力學(xué)的知識(shí)，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問(wèn)題的基本方法有兩種，第一種利用力和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，選用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，選用動(dòng)能定理和功能關(guān)系求解．經(jīng)對(duì)本題的分析可知，粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，第一問(wèn)還可以用能量進(jìn)行求解．
本題第四象限內(nèi)存在著有界磁場(chǎng)，帶電粒子在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到洛倫茲力的作用，將做有臨界狀態(tài)的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)臨界狀態(tài)的尋找與分析成為了解決此類為題的重點(diǎn)和難點(diǎn)．此種類型的題能充分考查考生的綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力．解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是做出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，抓住物理過(guò)程變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（列出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程），找出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)邊界的約束關(guān)系．