Question

10．冷戰(zhàn)時期，前蘇聯(lián)科學(xué)家決定用一種簡單而暴力的方式探索地球，計劃鉆出一個直指地心的“超級深井”（如圖1），執(zhí)行到井深約12300米時被停止，原因不明．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．如圖2所示，假設(shè)地球半徑為R、地表重力加速度為g₀，質(zhì)量分布均勻，不考慮自轉(zhuǎn)．為研究位于地球內(nèi)部P點（OP=r）的小球所受引力，可將地球視為無數(shù)個同心球殼，其中半徑大于r的球殼對小球的引力為零；即小球僅受到半徑為r的球體的引力作用．（球體積公式V=$\frac{4π}{3}$R³）
（1）求P點重力加速度g，并在圖3中補(bǔ)充完成g～r圖象 （r＞R部分已經(jīng)給出）．
（2）若井深A(yù)P=$\frac{R}{2}$，從井口釋放一質(zhì)量為m的小球，落至P點時，速度多大？

Answer 1

分析 （1）由題意知，放在P點的小球僅受到半徑為r的球體的引力作用，根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合半徑之比，質(zhì)量與密度的關(guān)系求出P點的重力加速度，結(jié)合r＜R時，g與r的關(guān)系式作出正確的圖線．
（2）小球從A點至P點的過程中，重力隨位移均勻變化，根據(jù)動能定理，結(jié)合重力做功求出落至P點的速度．

解答 解：（1）由題意知，放在P點的小球僅受到半徑為r的球體的引力作用，
設(shè)半徑為r的球體的質(zhì)量為M′．根據(jù)公式V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$以及M=ρV，
可知：$\frac{M′}{M}=\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$，
P點：mg=$G\frac{M′m}{{r}^{2}}$，
地球表面處：$m{g}_{0}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：g=$\frac{r}{R}{g}_{0}$．
故當(dāng)r＜R 時，g～r圖象為正比例函數(shù)圖象，如圖所示．
（2）由上一問可知，小球從A點下落至P點的過程中，所受重力隨位移均勻變化，
所以 ${W}_{G}=\frac{m{g}_{p}+m{g}_{0}}{2}×\frac{R}{2}$，
由g=$\frac{r}{R}{g}_{0}$知，${g}_{p}=\frac{1}{2}{g}_{0}$，
根據(jù)動能定理：${W}_{G}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
聯(lián)立解得：v=$\frac{\sqrt{3{g}_{0}R}}{2}$．
答：（1）P點重力加速度g為$\frac{r}{R}{g}_{0}$，g～r圖象如圖所示．
（2）落至P點時，速度為$\frac{\sqrt{3{g}_{0}R}}{2}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道P點小球僅受到半徑為r的球體的引力作用，結(jié)合萬有引力等于重力求解，對于第二問，知道重力做功是變力功，結(jié)合動能定理進(jìn)行求解，對于變力功，可以抓住重力隨位移均勻變化，結(jié)合平均重力求解重力功，也可以結(jié)合g-r圖線圍成的面積進(jìn)行求解．