4.如圖所示,頂角θ=45°的光滑金屬導(dǎo)軌 MON固定在水平面內(nèi),導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中.一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿導(dǎo)軌MON向右滑動,導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m,導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均勻?yàn)閞,導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為a和b,導(dǎo)體棒在滑動過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸且沒有脫離導(dǎo)軌.當(dāng)t=0時(shí),導(dǎo)體棒位于坐標(biāo)原點(diǎn)o處,求:
(1)導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動時(shí)水平外力F的表達(dá)式;
(2)導(dǎo)體棒在0~t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q;
(3)若在t0時(shí)刻將外力F撤去,導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x.

分析 (1)求出t時(shí)刻導(dǎo)體棒的有效長度,結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流強(qiáng)度的大。(dāng)導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動時(shí),水平外力等于安培力,根據(jù)平衡求出水平拉力的表達(dá)式.
(2)導(dǎo)體棒在0~t時(shí)間內(nèi)電流大小恒定,抓住R與時(shí)間正比,通過平均功率,根據(jù)Q=Pt求出產(chǎn)生的焦耳熱Q.
(3)根據(jù)動量定理,結(jié)合微分思想、運(yùn)動學(xué)公式求出在t=0時(shí)刻將外力F撤去,導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x

解答 解:(1)0到t時(shí)間內(nèi),導(dǎo)體棒的位移 x=v0t
t時(shí)刻,導(dǎo)體棒長度 l=x
導(dǎo)體棒的電動勢 E=Blv0
回路總電阻 R=(2x+$\sqrt{2}$x)r
電流強(qiáng)度 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{v}_{0}}{(2+\sqrt{2})r}$
由于導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動,安培力等于拉力.
則 F=BIl=$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{2}t}{(2+\sqrt{2})r}$
(2)在t時(shí)刻導(dǎo)體棒的電阻 R=(2+$\sqrt{2}$)rv0t   即 R∝t
由于電流I恒定,因此 Q=${I}^{2}\overline{R}t$=$[\frac{B{v}_{0}}{(2+\sqrt{2}r)}]^{2}$•$\frac{{v}_{0}tr}{2}t$=$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{3}{t}^{2}}{2(2+\sqrt{2})^{2}r}$
(3)撤去外力后,設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x,速度為v,取極短時(shí)間△t
在t~t+△t時(shí)間內(nèi),由動量定理得  BlI△t=m△v
可得 B$\frac{Bv}{(2+\sqrt{2})r}$vt△t=$\frac{{B}^{2}△s}{(2+\sqrt{2})r}$=m△v
在t0~t時(shí)間內(nèi) $\sum_{\;}^{\;}$ $\frac{{B}^{2}△s}{(2+\sqrt{2})r}$=mv0,△s=$\frac{(x+{x}_{0})(x-{x}_{0})}{2}$=$\frac{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}{2}$
可得 $\frac{{B}^{2}}{(2+\sqrt{2})r}$•$\frac{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}{2}$=mv0,
其中 x0=v0t0;
導(dǎo)體棒靜止時(shí)的坐標(biāo)為 x=$\sqrt{\frac{2(2+\sqrt{2})rm{v}_{0}}{{B}^{2}}+({v}_{0}{t}_{0})^{2}}$
答:
(1)導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動時(shí)水平外力F的表達(dá)式為F=$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{2}t}{(2+\sqrt{2})r}$;
(2)導(dǎo)體棒在0~t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{3}{t}^{2}}{2(2+\sqrt{2})^{2}r}$;
(3)若在t0時(shí)刻將外力F撤去,導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x為$\sqrt{\frac{2(2+\sqrt{2})rm{v}_{0}}{{B}^{2}}+({v}_{0}{t}_{0})^{2}}$.

點(diǎn)評 本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點(diǎn),要注意不能只根據(jù)感應(yīng)電電動勢變化,認(rèn)為感應(yīng)電流減小,其實(shí)電阻也增大,感應(yīng)電流不變.

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(1)電場強(qiáng)度大小E;
(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B;
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A.若僅增大木板的質(zhì)量M,則時(shí)間t增大
B.若僅增大木塊的質(zhì)量m,則時(shí)間t增大
C.若僅增大恒力F,則時(shí)間t增大
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