Question

4．如圖所示，頂角θ=45°的光滑金屬導(dǎo)軌 MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定速度v₀沿導(dǎo)軌MON向右滑動，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均勻?yàn)閞，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸且沒有脫離導(dǎo)軌．當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)體棒位于坐標(biāo)原點(diǎn)o處，求：
（1）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動時(shí)水平外力F的表達(dá)式；
（2）導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若在t₀時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x．

Answer 1

分析 （1）求出t時(shí)刻導(dǎo)體棒的有效長度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流強(qiáng)度的大�。�當(dāng)導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動時(shí)，水平外力等于安培力，根據(jù)平衡求出水平拉力的表達(dá)式．
（2）導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)電流大小恒定，抓住R與時(shí)間正比，通過平均功率，根據(jù)Q=Pt求出產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（3）根據(jù)動量定理，結(jié)合微分思想、運(yùn)動學(xué)公式求出在t=0時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x

解答 解：（1）0到t時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體棒的位移 x=v₀t
t時(shí)刻，導(dǎo)體棒長度 l=x
導(dǎo)體棒的電動勢 E=Blv₀
回路總電阻 R=（2x+$\sqrt{2}$x）r
電流強(qiáng)度 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{v}_{0}}{（2+\sqrt{2}）r}$
由于導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動，安培力等于拉力．
則 F=BIl=$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{2}t}{（2+\sqrt{2}）r}$
（2）在t時(shí)刻導(dǎo)體棒的電阻 R=（2+$\sqrt{2}$）rv₀t   即 R∝t
由于電流I恒定，因此 Q=${I}^{2}\overline{R}t$=$[\frac{B{v}_{0}}{（2+\sqrt{2}r）}]^{2}$•$\frac{{v}_{0}tr}{2}t$=$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{3}{t}^{2}}{2（2+\sqrt{2}）^{2}r}$
（3）撤去外力后，設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取極短時(shí)間△t
在t～t+△t時(shí)間內(nèi)，由動量定理得  BlI△t=m△v
可得 B$\frac{Bv}{（2+\sqrt{2}）r}$vt△t=$\frac{{B}^{2}△s}{（2+\sqrt{2}）r}$=m△v
在t₀～t時(shí)間內(nèi) $\sum_{\;}^{\;}$ $\frac{{B}^{2}△s}{（2+\sqrt{2}）r}$=mv₀，△s_總=$\frac{（x+{x}_{0}）（x-{x}_{0}）}{2}$=$\frac{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}{2}$
可得 $\frac{{B}^{2}}{（2+\sqrt{2}）r}$•$\frac{{x}^{2}-{x}_{0}^{2}}{2}$=mv₀，
其中 x₀=v₀t₀；
導(dǎo)體棒靜止時(shí)的坐標(biāo)為 x=$\sqrt{\frac{2（2+\sqrt{2}）rm{v}_{0}}{{B}^{2}}+（{v}_{0}{t}_{0}）^{2}}$
答：
（1）導(dǎo)體棒作勻速直線運(yùn)動時(shí)水平外力F的表達(dá)式為F=$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{2}t}{（2+\sqrt{2}）r}$；
（2）導(dǎo)體棒在0～t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{B}^{2}{v}_{0}^{3}{t}^{2}}{2（2+\sqrt{2}）^{2}r}$；
（3）若在t₀時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x為$\sqrt{\frac{2（2+\sqrt{2}）rm{v}_{0}}{{B}^{2}}+（{v}_{0}{t}_{0}）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點(diǎn)，要注意不能只根據(jù)感應(yīng)電電動勢變化，認(rèn)為感應(yīng)電流減小，其實(shí)電阻也增大，感應(yīng)電流不變．