Question

16．如圖所示，以A、B和C、D為端點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑水平面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C．一物塊被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A時剛好與傳送帶速度相同，然后經A沿半圓軌道滑下，再經B滑上滑板．滑板運動到C時被牢固粘連．物塊可視為質點，質量為m，滑板質量M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，E距A為s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均為0.5，重力加速度取g．
（1）求物塊滑到B點的速度大��；
（2）若板右端到C的距離L足夠大，求當兩物體共速時板滑行的距離；
（3）若板右端到C的距離L在R＜L＜5R范圍內到值，試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關系．

Answer 1

分析 （1）物塊滑到B點經過了兩個過程，先是在傳送帶上的勻加速直線運動，由動能定理可求A點速度；A到B的過程機械能守恒可求B點的速度．
（2）應用動量守恒、動能定理求出物塊與滑板在達到相同共同速度時的位移，判斷物塊有沒有離開滑板；
（3）應用功的計算公式求出克服摩擦力做的功W_f與L的關系．

解答 解：（1）設物塊運動到A和B點的速度分別為v₁、v₂，
由動能定理得：μmgs=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
由機械能守恒定律：$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$；
（2）設滑板與物塊達到共同速度v₃時，位移分別為l₁、l₂，
以向右為正方向，由動量守恒定律mv₂=（m+M）v₃，
由動能定理得：μmgl₁=$\frac{1}{2}$Mv₃²，
-μmgl₁=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
聯立③④⑤⑥，得 l₁=2R　l₂=8R
（3）物塊相對滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l，
即物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板，
物塊滑到滑板右端時，
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L），
W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁），
W_f=$\frac{17}{4}$mgR；
答：（1）物塊滑到B點的速度大小為3$\sqrt{gR}$；
（2）若板右端到C的距離L足夠大，當兩物體共速時板滑行的距離為2R；
（3）克服摩擦力做的功W_f與L的關系為：①若R＜L＜2R，W_f=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L）；②若2R≤L＜5R，W_f=$\frac{17}{4}$mgR．

點評 本題考查動量守恒和機械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板是關鍵，是一道比較困難的好題．