Question

16．拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見，如乒乓球運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，設(shè)球臺(tái)長(zhǎng)2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，如圖所示，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力．（設(shè)重力加速度為g）
（1）若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度為h_l處以速度v₁水平發(fā)出，落在球臺(tái)的P_l點(diǎn)（如圖1實(shí)線所示），求P₁點(diǎn)距O點(diǎn)的距離x₁．
（2）若球在O點(diǎn)正上方以速度v₂水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)的P₂點(diǎn)（如圖虛線所示），求v₂的大�。�
（3）若球在O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣P₃處，求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h₃．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)初速度和時(shí)間求出水平位移．
（2）若球在O點(diǎn)正上方以速度v₂水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)，知平拋的高度等于網(wǎng)高，從而得知平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性求出平拋運(yùn)動(dòng)的位移，再根據(jù)水平位移和時(shí)間求出平拋的初速度．
（3）根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出小球越過球網(wǎng)到達(dá)最高點(diǎn)的水平位移，從而得知小球反彈到越球網(wǎng)時(shí)的水平位移，對(duì)反彈的運(yùn)動(dòng)采取逆向思維，抓住水平方向和豎直方向運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性求出小球越過球網(wǎng)到達(dá)最高點(diǎn)的豎直位移與整個(gè)豎直位移的比值，從而求出發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）設(shè)發(fā)球時(shí)飛行時(shí)間為t₁，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)有：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
x₁=v₁t₁
解得：${x}_{1}={v}_{1}\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$．
（2）設(shè)發(fā)球高度為h₂，飛行時(shí)間為t₂，同理有${h}_{2}=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$
x₂=v₂t₂
且h₂=h
2x₂=L
得${v}_{2}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
（3）設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為t，水平距離為s，根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)及反彈的對(duì)稱性，知反彈到最高點(diǎn)的水平位移為$\frac{2L}{3}$，則反彈到越過球網(wǎng)的水平位移為$L-\frac{2}{3}L=\frac{1}{3}L$，則圖中的s=$\frac{1}{3}L$，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以從越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)所用的時(shí)間和從反彈到最高點(diǎn)的時(shí)間比為1：2．
對(duì)反彈到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)采取逆向思維，根據(jù)水平方向上的運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，知越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)豎直方向上的時(shí)間和反彈到最高點(diǎn)在豎直方向上的時(shí)間比為1：2．根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，知越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)豎直方向上的位移和反彈到最高點(diǎn)的位移為1：4，即
$\frac{{h}_{3}-h}{{h}_{3}}=\frac{1}{4}$，
解得${h}_{3}=\frac{4}{3}h$．
答：（1）P₁點(diǎn)距O點(diǎn)的距離為${v}_{1}\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}$．
（2）v₂的大小為$\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
（3）發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度為$\frac{4}{3}h$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，以及知道小球平拋落地反彈后的運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)稱．