Question

19．AB是豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道，其末端水平，且與水平地面間的豎直高度差為h，如圖所示．一小球自A點(diǎn)起由靜止開始沿軌道下滑．已知圓軌道半徑為R，小球的質(zhì)量為m，不計(jì)一切阻力與摩擦．求
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小球經(jīng)過圓弧軌道的末端B點(diǎn)時(shí)所受軌道支持力N_B是多大？
（3）小球落地點(diǎn)距圓弧軌道末端的水平距離x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理，求解小球通過B點(diǎn)的速度．
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過B點(diǎn)時(shí)支持力的大�。�
（3）小球離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解水平距離x．

解答 解：（1）小球從A到B，只有重力做功，機(jī)械能守恒，則得：
mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
（2）小球通過B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律知：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mg
（3）物塊從B點(diǎn)到C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
豎直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向 x=v_Bt 
聯(lián)立得：$x={v}_{B}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gR}×\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{Rh}$
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）小球經(jīng)過圓弧軌道的末端B點(diǎn)時(shí)所受軌道支持力N_B是3mg；
（3）小球落地點(diǎn)距圓弧軌道末端的水平距離x為2$\sqrt{Rh}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵是明確每個(gè)過程中小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在圓周運(yùn)動(dòng)過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒或動(dòng)能定理求速度，再根據(jù)牛頓第二定律求力是基本方法，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要掌握運(yùn)動(dòng)的分解法和運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式．