Question

19．如圖所示，空間內存在水平向右的勻強電場，在虛線MN的右側有垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一質量為m、帶電荷量為+q的小球自A點由靜止開始運動，剛好沿直線AC運動至光滑絕緣的水平面CD點，與水平面碰撞的瞬間，小球的豎直分速度立即減為零，而水平分速度不變，小球運動至D處剛好離開水平面，然后沿圖示曲線DP軌跡運動，AC與水平面夾角α=45°，重力加速度為g，求：
（1）勻強電場的場強E；
（2）AD之間的水平距離d；
（3）已知小球在軌跡DP上能達到的最大速度為v_m，當小球達到最大速度時，磁場突然消失，經過多長時間的速度變$\sqrt{5}$v_m？

Answer 1

分析 （1）小球從A運動到C的過程中，受到重力和電場力，兩者的合力沿AC方向，作出力的合成圖求出E．
（2）小球從A運動到D的過程中，水平分運動是勻加速直線運動．當洛倫茲力等于重力時，小球剛好離開水平面．由此條件求出小球滑到D點的速度，由速度位移公式求出d．
（3）小球離開D點后，受到重力、電場力和洛倫茲力三個力作用，當洛倫茲力與重力和電場力的合力共線時，速度最大；磁場突然消失，速度與電場力和重力的合力垂直，做類似平拋運動，根據類平拋運動的分運動公式列式求解運動時間．

解答 解：（1）小球在AC段的受力如圖：

則有：qE=mgcotα
解得：E=$\frac{mg}{q}$
（2）設小球在D點速度為v_D，在水平方向由牛頓第二定律得：
qE=ma
由運動學：
v_D²=2ad
又小顆粒運動至D處剛好離開水平面，則
qv_DB=mg
聯(lián)立以上三式解得：
d=$\frac{{m}^{2}g}{2{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）將重力和電場力合成，等效成“等效重力”，則“等效豎直向下”方向是與水平方向成45°角斜向右下方，小球速度最大時刻，到“等效重力場”的最低點，此時速度與“等效重力”方向垂直；
故撤去磁場后小球做類似平拋運動，故根據牛頓第二定律，有：
a=$\sqrt{2}g$
根據類平拋運動的合速度公式$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+（at）^{2}}$，有：
$\sqrt{5}{v}_{m}=\sqrt{{v}_{m}^{2}+（\sqrt{2}gt）^{2}}$
解得：t=$\frac{\sqrt{2}{v}_{m}}{g}$
答：（1）勻強電場的場強E為$\frac{mg}{q}$；
（2）AD之間的水平距離d為$\frac{{m}^{2}g}{2{q}^{2}{B}^{2}}$；
（3）已知小球在軌跡DP上能達到的最大速度為v_m，當小球達到最大速度時，磁場突然消失，經過$\frac{\sqrt{2}{v}_{m}}{g}$時間的速度變$\sqrt{5}$v_m．

點評 本題考查根據運動情況分析受力情況、以及根據受力情況分析運動情況的能力．本題在第二問中，有分段求和整體求兩種，用整體法比較簡單一些，但是由于整體法需知道在水平方向是勻加速直線運動，這點可能不好想到．用分段法也能求，稍麻煩一點而已．