Question

16．如圖甲所示，直角坐標(biāo)系xoy的第二象限有一半徑為R=a的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域的圓心O₁坐標(biāo)為（-a，a），與坐標(biāo)軸分別相切于P點(diǎn)和N點(diǎn)，整個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向垂直紙面向里（圖中未畫出）．帶電粒子以相同的速度在紙面內(nèi)從P點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，速度方向與x軸負(fù)方向成θ角，當(dāng)粒子經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)時(shí)，速度方向沿x軸正方向，已知M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{4a}{3}$）．帶電粒子質(zhì)量為m、帶電量為-q．忽略帶電粒子間的相互作用力，不計(jì)帶電粒子的重力，求：

（1）帶電粒子速度v大小和cosθ值；
（2）若帶電粒子從M點(diǎn)射入第一象限，第一象限分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知帶電粒子在該磁場(chǎng)的一直作用下經(jīng)過了x軸上的Q點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′大小為多大？
（3）若第一象限只在y軸與直線x=a之間的整個(gè)區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小仍為B．方向垂直紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化（B-t圖）的規(guī)律如圖乙所示，已知在t=0時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向外，此時(shí)某帶電粒子剛好從M點(diǎn)射入第一象限，最終從直線x=a邊界上的K點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，穿出磁場(chǎng)時(shí)其速度方向沿x軸正方向（該粒子始終只在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)），則K點(diǎn)到x軸最大距離為多少？要達(dá)到此最大距離，圖乙中的T值為多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)，確定出圓心和半徑，由洛倫茲力等于向心力，列式求得v的大�。�由幾何關(guān)系求解cosθ值；
（2）帶電粒子以平行于x軸正方向的速度從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何知識(shí)求出軌跡半徑，即可由牛頓第二定律求解B．
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求解K點(diǎn)到x軸最大距離．根據(jù)軌跡的圓心角求解圖乙中的T值．

解答 解：（1）帶電粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O₂，離開圓形磁場(chǎng)區(qū)域
時(shí)的位置為H，連接PO₁HO₂可知，該四邊形為菱形，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：
 r=a

由于qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：v=$\frac{qBa}{m}$
由于PO₁在豎直方向，半徑HO₂也為豎直方向，由圖可知：
  r+rcosθ=$\frac{4}{3}$a
解得：cosθ=$\frac{1}{3}$
（2）由圖可知，帶電粒子以平行于x軸正方向的速度從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)
動(dòng)，設(shè)半徑為r₃，由幾何關(guān)系有：
tanβ=$\frac{a}{\frac{4}{3}a}$=$\frac{3}{4}$，β=37°
則：cosβ=$\frac{\frac{1}{2}MQ}{{r}_{3}}$=$\frac{\frac{5}{6}a}{{r}_{3}}$
得：r₃=$\frac{25}{24}$a
而r₃=$\frac{mv}{qB′}$
得：B′=$\frac{24}{25}$B
（3）由圖知：圓O₄與直線x=a相切于C點(diǎn)，圓
O₅與y軸相切于D點(diǎn)，兩圓弧相切于E點(diǎn)，帶電粒子運(yùn)動(dòng)到K點(diǎn)時(shí)離x軸距離最大，

  O₄ O₅=2r=2a          
cos∅=$\frac{1}{2}$，∅=60°
最大距離KQ=$\frac{4a}{3}$+3r+2rsinΦ=（$\frac{10}{3}$+$\sqrt{3}$）a
帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期T₀=$\frac{2πm}{qB}$
由$\frac{1}{2}$T=$\frac{150°}{360°}$×T₀
解得 T=$\frac{5πm}{3qB}$
答：
（1）帶電粒子速度v大小為$\frac{qBa}{m}$，cosθ值是$\frac{1}{3}$；
（2）該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′大小為$\frac{24}{25}$B．
（3）K點(diǎn)到x軸最大距離為（$\frac{10}{3}$+$\sqrt{3}$）a，要達(dá)到此最大距離，圖乙中的T值為$\frac{5πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出臨界軌跡，結(jié)合牛頓第二定律和幾何關(guān)系分析解答．