Question

8．如圖甲所示，在以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的xOy平面內(nèi)，存在著范圍足夠大的電場(chǎng)和磁場(chǎng)．一個(gè)帶正電小球在0時(shí)刻以v₀=3gt₀的初速度從O點(diǎn)沿+x方向（水平向右）射入該空間，在t₀時(shí)刻該空間同時(shí)加上如圖乙所示的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，其中電場(chǎng)沿+y方向（豎直向上），場(chǎng)強(qiáng)大小E₀=$\frac{mg}{q}$，磁場(chǎng)垂直于xOy平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$．已知小球的質(zhì)量為m，帶電量為q，時(shí)間單位t₀，當(dāng)?shù)刂亓�加速度g，空氣阻力不計(jì)．試求：

（1）12t₀末小球速度的大小．
（2）在給定的xOy坐標(biāo)系中，大體畫(huà)出小球在0到24t₀內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖．
（3）30t₀內(nèi)小球距x軸的最大距離．

Answer 1

分析 （1）正確對(duì)小球進(jìn)行受力分析，明確運(yùn)動(dòng)形式，求出圓周運(yùn)動(dòng)的周期和所給時(shí)間直間的關(guān)系，最后利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；
（2）根據(jù)第一問(wèn)的解答，可正確畫(huà)出圖象；
（3）利用運(yùn)動(dòng)的周期性畫(huà)出30t₀內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)軌跡圖，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）0～t₀內(nèi)，小球只受重力作用，做平拋運(yùn)動(dòng)．當(dāng)同時(shí)加上電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，電場(chǎng)力：F₁=qE₀=mg，方向向上
因?yàn)橹亓�和電�?chǎng)力恰好平衡，所以在電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)小球只受洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：
 qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
運(yùn)動(dòng)周期 T=$\frac{2πr}{v}$
聯(lián)立解得 T=2t₀
電場(chǎng)、磁場(chǎng)同時(shí)存在的時(shí)間正好是小球做圓周運(yùn)動(dòng)周期的5倍，即在這10t₀內(nèi)，小球恰好做了5個(gè)完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所以小球在t₁=12 t₀時(shí)刻的速度相當(dāng)于小球做平拋運(yùn)動(dòng)t=2t₀時(shí)的末速度．
v_y1=g•2t₀=2gt₀
所以12t₀末小球的速度大小為  v₁=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y1}^{2}}$=$\sqrt{13}$gt₀
（2）24t₀內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如下圖所示．

（3）分析可知，小球在30t₀時(shí)與24t₀時(shí)的位置相同，在24t₀內(nèi)小球做了t₂=3t₀的平拋運(yùn)動(dòng)，和半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)．
23t₀末小球平拋運(yùn)動(dòng)的豎直分位移大小為：
  y₂=$\frac{1}{2}g（3{t}_{0}）^{2}$=$\frac{9}{2}g{t}_{0}^{2}$
豎直分速度 v_y2=3gt₀
所以小球與豎直方向的夾角為θ=45°，速度大小為 v₂=3$\sqrt{2}g{t}_{0}$
此后小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r₂=$\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}$=$\frac{3\sqrt{2}g{t}_{0}^{2}}{π}$
30t₀末小球距x軸的最大距離：y₃=y₂+（1+cos45°）r₂=（$\frac{9}{2}+\frac{3+3\sqrt{2}}{π}$）g${t}_{0}^{2}$
答：
（1）12t₀末小球速度的大小為$\sqrt{13}$gt₀．
（2）大體畫(huà)出小球在0到24t₀內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示．
（3）30t₀內(nèi)小球距x軸的最大距離為（$\frac{9}{2}+\frac{3+3\sqrt{2}}{π}$）g${t}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 解答帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的基本思路是正確受力分析，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)要求較高，是考查重點(diǎn)和難點(diǎn)，要加強(qiáng)練習(xí)，提高解題能力．