Question

9．為了探測(cè)X星球，載著登陸艙的探測(cè)飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁，周期為T₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，引力常量為G．則（　　）

• A． X星球的質(zhì)量為M=$\frac{4π{r}_{1}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． X星球表面的重力加速度為g_x=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$
• C． 登陸艙在半徑為r₂的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}}$
• D． 登陸艙在半徑為r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過(guò)不同的軌道半徑進(jìn)行比較．

解答 解：A、研究飛船繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$=${m}_{2}{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$
得出：M=$\frac{4π{r}_{1}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A正確．
B、由于該星球的半徑無(wú)法求解出，故無(wú)法求解該星球表面的重力加速度，故B錯(cuò)誤．
C、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運(yùn)動(dòng)：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，得出：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．
表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期大小之比為：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，所以T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故C錯(cuò)誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：
在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得出：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，表達(dá)式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 求一個(gè)物理量之比，我們應(yīng)該把這個(gè)物理量先用已知的物理量表示出來(lái)，再進(jìn)行之比．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．