Question

17．過山車是游樂場中常見的設(shè)施，如圖是一種過山車的簡易模型．它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的若干個光滑圓形軌道組成，水平軌道與圓形軌道平滑連接，A、B、C…分別是各個圓形軌道的最低點，第一圓軌道的半徑R₁=2.0m，以后各個圓軌道半徑均是前一軌道半徑的k倍（k=0.8），相鄰兩最低點間的距離為兩點所在圓的半徑之和，一個質(zhì)量m=1.0kg的物塊（視為質(zhì)點），從第一圓軌道的左側(cè)沿水平軌道向右運動，經(jīng)過A點時的速度v₀=12m/s，已知水平軌道與物塊間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097，試求：

（1）物塊經(jīng)過第一軌道最高點時的速度大�。�
（2）物塊經(jīng)過第二軌道最低點B時對軌道的壓力大��；
（3）物塊能夠通過幾個圓軌道？

Answer 1

分析 （1）物塊在第一軌道運動的過程中機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律求出物塊經(jīng)過第一軌道最高點的速度大�。�
（2）對A到B運用動能定理，求出到達B點時的速度，在B點重力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而求出物體對軌道的壓力大�。�
（3）設(shè)物塊能夠通過n個圓軌道，對全過程運用動能定理，求出第n個軌道的半徑，抓住小球經(jīng)過第n個圓軌道時，在最高點有臨界值，即${v}_{n}=\sqrt{g{R}_{n}}$，運用數(shù)學(xué)知識求出n的范圍．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)第一個軌道最高點的速度為v，由機械能守恒有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mg{R}_{1}$
即有$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}-4g{R}_{1}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-4×10×2}=8m/s$
故物塊經(jīng)過第一軌道最高點時的速度大小為8m/s．
（2）設(shè)物塊經(jīng)B點時的速度為v_B，從A到B的過程由動能定理，
$-μmg（{R}_{1}+{R}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
對物塊經(jīng)B點受力分析，由向心力公式有 ${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{{R}_{2}}$
聯(lián)立兩式解得${F}_{N}=mg+m\frac{{v}_{0}^{2}-μg（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{R}_{2}}$=77.5N
由牛頓第三定律可知，物塊對軌道的壓力大小為77.5N．　　　
故物塊經(jīng)過第二軌道最低點B時對軌道的壓力大小為77.5N．　　　　　　　
（3）設(shè)物塊恰能通過第n個軌道，它通過第n個軌道的最高點時的速度為v_n，有$m\frac{{v}_{n}^{2}}{{R}_{n}}≥mg$
對物塊從A到第n個軌道的最高點的全過程由動能定理得-μmg[（R₁+R₂）+（R₂+R₃）+…（R_n-1+R_n）]-2mgR_n=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又因為  R_n=k^n-1R₁=0.8^n-1R₁
由以上三式可整理得v₀²-2μg[（R₁+R₂+…+R_n-1）+（R₂+R₃+…+R_n）]≥5gR_n
即${v}_{0}^{2}-μg[\frac{{R}_{1}（1-{k}^{n-1}）}{1-k}+\frac{{R}_{2}（1-{k}^{n-1}）}{1-k}]$=${v}_{0}^{2}-2μg{R}_{1}\frac{（1+k）（1-{k}^{n-1}）}{1-k}$$≥5g{R}_{1}{k}^{n-1}$
將v₀=12m/s，μ=0.5，R₁=2m，k=0.8，g=10m/s²代入上式，整理得0.8^n-1≥0.45，
即有$n-1≤\frac{lg0.45}{lg0.8}≈3.6$，解得  n≤4.6
故物塊共可以通過4個圓軌道．
答：（1）物塊經(jīng)過第一軌道最高點時的速度8m/s
（2）物塊經(jīng)過第二軌道最低點B時對軌道的壓力77.5N
（3）物塊能夠通過4個圓軌道．

點評 本題綜合運用了動能定理和機械能守恒定律，運用動能定理和機械能守恒定律解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達式求解．本題第（3）問較難，對數(shù)學(xué)的要求較高．