Question

1．利用電場(chǎng)和磁場(chǎng)，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學(xué)分析和原子核技術(shù)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用．
如圖所示的矩形區(qū)域ACDG（AC邊足夠長(zhǎng)）中存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，A處有一狹縫．離子源產(chǎn)生的離子，經(jīng)靜電場(chǎng)加速后穿過(guò)狹縫沿垂直于GA邊且垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)到GA邊，被相應(yīng)的收集器收集．已知被加速的兩種正離子的質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞4m₂），電荷量均為q．加速電場(chǎng)的電勢(shì)差為U，離子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度可以忽略，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．不計(jì)重力和空氣阻力，也不考慮離子間相互作用．
（1）求質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率v₁；
（2）求兩種離子在GA邊落點(diǎn)的間距s；
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實(shí)際裝置中狹縫具有一定寬度．若狹縫過(guò)寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點(diǎn)區(qū)域交疊，導(dǎo)致兩種離子無(wú)法完全分離．
狹縫右邊緣在A處，離子可以從狹縫各處射入磁場(chǎng)，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場(chǎng)．為保證射入磁場(chǎng)的上述兩種離子能落在GA邊上（狹縫左側(cè)）并被完全分離，求狹縫的最大寬度d．

Answer 1

分析 （1）離子在電場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒即可求出離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)向心力提供洛倫茲力，由帶電離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式可分別求出質(zhì)量為m₁、m₂的粒子的軌跡半徑，兩個(gè)軌跡的直徑之差就是離子在GA邊落點(diǎn)的間距．
（3）由題意畫出草圖，通過(guò)圖找出兩個(gè)軌跡因?qū)挾葹閐狹縫的影響，從而應(yīng)用幾何知識(shí)找出各量的關(guān)系，列式求解．

解答 解：（1）加速電場(chǎng)對(duì)離子${m}_{1}^{\;}$做的功W=qU
由動(dòng)能定理得$\frac{1}{2}{m}_{1}^{\;}{v}_{1}^{2}=qU$
解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}^{\;}}}$①
（2）離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，$R=\frac{mv}{qB}$
利用①式得離子在磁場(chǎng)中的軌道半徑分別為：${R}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}^{\;}U}{q{B}_{\;}^{2}}}$，${R}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}^{\;}U}{q{B}_{\;}^{2}}}$②
兩種離子在邊GA上落點(diǎn)的間距為：$s=2{R}_{1}^{\;}-2{R}_{2}^{\;}$=$\sqrt{\frac{8U}{q{B}_{\;}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}^{\;}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}）$③
（3）質(zhì)量為${m}_{1}^{\;}$的離子，在GA邊上的落點(diǎn)都在其入射點(diǎn)左側(cè)2${R}_{1}^{\;}$處，由于狹縫的寬度為d，因此落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d．同理，質(zhì)量為${m}_{2}^{\;}$的離子在GA邊上落點(diǎn)區(qū)域的寬度也是d

為保證兩種離子能完全分離，兩個(gè)區(qū)域應(yīng)無(wú)交疊，條件為：$2（{R}_{1}^{\;}-{R}_{2}^{\;}）＞d$④
利用②式，代入④式：得$2{R}_{1}^{\;}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}}）＞d$
${R}_{1}^{\;}$的最大值滿足$2{R}_{1m}^{\;}=L-d$
得$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}}）＞d$
求得最大值$rlrxld7_{m}^{\;}=\frac{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{2\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}$
答：（1）質(zhì)量為m₁的離子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率${v}_{1}^{\;}$為$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}^{\;}}}$；
（2）兩種離子在GA邊落點(diǎn)的間距s為$\sqrt{\frac{8U}{q{B}_{\;}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}）$；
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實(shí)際裝置中狹縫具有一定寬度．若狹縫過(guò)寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點(diǎn)區(qū)域交疊，導(dǎo)致兩種離子無(wú)法完全分離．
狹縫右邊緣在A處，離子可以從狹縫各處射入磁場(chǎng)，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場(chǎng)．為保證射入磁場(chǎng)的上述兩種離子能落在GA邊上（狹縫左側(cè)）并被完全分離，狹縫的最大寬度d為$\frac{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{2\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查帶電粒子在有界電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，類似質(zhì)譜儀，解題方式和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)相似，確定圓心，軌跡和半徑，整體上難度較低．